Na príklade čísla pí chápeme, že nie je nekonečno ako nekonečno
Matematici sú hraví ľudia, preto každého 14. marca (v americkom zápise 3/14) oslavujú sviatok – Deň pí. A tento sviatok je vítanou príležitosťou, ako si o tejto pozoruhodnej konštante povedať viac.
Nakresliť kruh je jednoduché, stačí mať dve paličky na šnúrke – jeden zabodnete do stredu a druhým otáčate okolo neho. S kruhmi sa začala hrať každá civilizácia, ktorá mala šnúrku – a ktorá vynašla koleso.
Tým sa nevyhnutne priblížila znalosti čísla pí (π), ktoré udáva pomer obvodu kruhu k jeho priemeru. Poznáte ho zo školy aj ako Ludolfovo číslo alebo 3,14 (a nekonečný počet ďalších desatinných miest).
Čo všetko viete o Ludolfovom čísle?
Kolom dokola
O koľko sa posunie vozidlo, keď sa jeho koleso otočí dookola? Asi tak o trojnásobok priemeru kolesa, a to platí pre každé koleso, veľké i malé. Obvod každého kruhu je asi trojnásobkom jeho priemeru. No nedalo by sa to spočítať presnejšie?
Ľudia sú zvedaví, a aj keby nemal problém obvodu kruhu praktický význam, začali by ho riešiť rovnako. Egypťania a Babylončania už pred štyrmi tisíckami rokov dospeli k veľmi dobrým odhadom vo forme zlomkov. Najprv hľadali čo najsprávnejšiu hodnotu meraním, a potom pátrali po výpočtovej konštrukcii, ktorá by k požadovanému číslu viedla. Z praktického hľadiska to bol úplne postačujúci prístup. Typicky inžiniersky.
Lenže potom sa v Stredomorí objavila civilizácia, ktorá si viac vážila filozofov než inžinierov.
Archimedova geniálna metóda
V treťom storočí pred naším letopočtom žil v Syrakúzach na Sicílii, teda v gréckom meste, Archimedes – vynálezca, fyzik a matematik. Jeho meno máme asi najsilnejšie spojené s Archimedovým zákonom (Teleso ponorené do kvapaliny…), vymyslel toho však oveľa viac, napríklad skrutkové čerpadlo či rôzne zbrane. A vymyslel aj postup stanovenia čísla pí s ľubovoľnou presnosťou.
Archimedova úvaha je jednoduchá a veľmi elegantná. Pí je to isté, čo dĺžka obvodu kruhu s jednotkovým priemerom. Do kruhu sa dá vpísať mnohouholník, a tiež sa dá okolo neho mnohouholník opísať. Obvod kruhu bude vždy niekde medzi dĺžkou obvodu opísaného (väčšieho) a vpísaného (menšieho) mnohouholníka.
Začneme pre názornosť štvorcom, čo Archimedes asi nerobil, to by pre neho bolo príliš jednoduché. Obvod štvorca opísaného okolo kruhu je
