Denník N

Najzrozumiteľnejšia zo všetkých matematických záhad. Napriek tomu ju nikto nevyriešil

Na vodorovnej osi sú východzie čísla, na zvislej dĺžky radov generované Collatzovým algoritmom. Náhodne to teda rozhodne nevyzerá. Foto - Wikimedia
Na vodorovnej osi sú východzie čísla, na zvislej dĺžky radov generované Collatzovým algoritmom. Náhodne to teda rozhodne nevyzerá. Foto – Wikimedia

Collatzova domnienka nie je taká slávna ako trebárs Riemannova hypotéza a možno sa aj trochu preceňuje. Z väčšej časti zámerne, pretože grant dostanete určite ľahšie vďaka argumentu „ide o bezpečnosť elektronického bankovníctva“ než „lebo je to jednoducho zaujímavé“.

Tie oblasti matematiky, kde dochádza ku skutočnému vedeckému pokroku, sú dnes mimo dosahu vzdelaného laika. Dvojnásobne to platí o nevyriešených problémoch, o záhadách, ktoré vzdorujú rozlúsknutiu. Napriek tomu existuje jedna, s ktorou matematici zápasia bezmála sto rokov, hoci ju pochopí aj žiak druhej triedy.

Hovorí sa jej Collatzova domnienka a spočíva v tomto: predstavte si nejaké celé kladné číslo. Ak je párne, vydeľte ho dvomi. Ak je nepárne, vynásobte ho tromi a pripočítajte jednotku. Opakujte tento postup stále dookola. Zapisujte výsledky. Keď narazíte na jednotku, skončite.

Vždy skončíme pri jednotke

Začneme napríklad štvorkou. Je párna, delíme teda dvomi a dostaneme číslo 2. To je tiež párne, delíme dvomi, dostaneme jednotku a tým sa výpočet končí. S päťkou to bude trochu inak: je nepárna, vynásobíme ju teda tromi a potom pripočítame jednotku. Päť krát tri je pätnásť, plus jedna je šestnásť. Šestnástku delíme dvomi, dostaneme osmičku, z osmičky štvorku a tak ďalej.

Spočítali sme si teda rad medzivýsledkov pre štvorku (4, 2, 1) a pre päťku (5, 16, 8, 4, 2, 1). Rovnako možno postupovať pre akékoľvek predvolené číslo. Trebárs: 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71… au. To by bolo dlhé. Rad medzivýsledkov pre predvolené číslo 27 má 111 členov (a najväčším z nich je číslo 9232, rad teda vyletí dosť nahor), ale rovnako ako tie dva predchádzajúce sa skončí jednotkou.

Zatiaľ sa nikomu nepodarilo nájsť číslo, s ktorým by to bolo inak. Niektoré rady medzivýsledkov sú strašne dlhé, ale všetky sú konečné – zastavia sa na čísle jeden. (Presnejšie povedané, na čísle jeden sa výpočet zacyklí, pretože sa začne stále opakovať postupnosť 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1…)

Dobrý dôvod na rezignáciu

Nemecký matematik Lothar Collatz publikoval v roku 1937 odhad, že spomínaný výpočet sa zastaví v konečnom počte krokov pre akékoľvek predvolené číslo. Zostáva dodnes domnienkou – nebol exaktne dokázaný. A nie je jasné, či sa to vôbec niekedy podarí.

Paul Erdős k tomu podotkol, že matematika možno ešte nie je dosť vyspelá na riešenie podobných úloh. A ponúkol 500 dolárov za vyriešenie, pričom – ako nedávno ktosi správne zdôraznil v diskusii na Quore – nie je dôležitá suma, ale to, kto ju ponúkol. Erdős možno bol – možno nebol – najväčším

Tento článok je exkluzívnym obsahom pre predplatiteľov Denníka N.

Teraz najčítanejšie