Denník N

Fyzikálny rébus o lietadle, druhé kolo reakcií fyzikov

Najprv vysvetlia, ako rozumejú zadaniu, a potom naň odpovedia. Fyzici doc. RNDr. František Kundracik, CSc. a Mgr. Martin Scholtz, PhD. doplnili svoje predošlé odpovede, aby sme zistili, či lietadlo na bežiacom páse vzlietne, alebo nie.

 

boeing1

Fyzici Martin Scholtz a František Kundracik priznávajú, že zadanie príkladu je zmätočné. Z odlišného porozumenia plynú odlišné odpovede.

Obaja fyzici v tomto – druhom – kole špecifikovali, ako otázke rozumejú, a podali na ňu odpoveď.

Ich poradie sme oproti prvému článku vymenili.

Scholtz: Lietadlo vzlietne, vzhľadom na nejednoznačnosť zadania ide o jedinú netriviálnu možnosť

Odpovedá fyzik Mgr. Martin Scholtz, PhD. z Ústavu teoretickej fyziky Matematicko-fyzikálnej fakulty Univerzity Karlovej v Prahe.

Vo svojom pôvodnom komentári k úlohe som sa zameral na fyzikálny rozdiel medzi spôsobom, akým sú poháňané auto a lietadlo. Podstatou mojej argumentácie bolo, že kým auto je poháňané pohybom kolies, lietadlo je poháňané prúdovými motormi a kolesá slúžia len na zníženie trenia medzi lietadlom a podložkou.

Ako som vysvetlil, v takom prípade pohyb pásu nemá skoro žiaden vplyv (oproti sile motorov) na pohyb lietadla. Preto je úplne jedno, ako sa pás pohybuje. Lietadlo dosiahne potrebnú rýchlosť vďaka svojim motorom a vzlietne.

Jediný podstatný vplyv pohybujúceho sa pásu je, že zmení rýchlosť otáčania kolies. Myslím, že na tom sa zhodneme i s pánom docentom Kundracikom.

Zo zadania nie je úplne jasné, čo sa vlastne myslí výrokom, že „pás zodpovedá presne rýchlosti kolies, ale pohybuje sa opačným smerom“.

Hneď vysvetlím, v čom vidím nejednoznačnosť zadania. K úlohe som pristupoval tak, že dáva zmysel a dá sa jednoznačne interpretovať.

Aby sme mohli analyzovať podmienky uvedené v zadaní, predpokladajme najprv, že pás i lietadlo sa pohybujú ľubovoľnými rýchlosťami. Pozrime sa najprv na schematický obrázok 1, kde je znázornená zem ako referenčná vzťažná sústava, dopravný pás a lietadlo.

obr 1

Obr. 1: 

Sú na ňom dve z troch podstatných rýchlostí: rýchlosť lietadla a rýchlosť hornej časti pásu. Prvú z nich označujem symbolom v. Pretože smeruje doľava, prisúdime jej znamienko mínus. Teda v je veľkosť rýchlosti a -v je rýchlosť smerujúca doľava.

Horná časť pásu sa pohybuje rýchlosťou u smerom doprava.

V celom príspevku budeme rýchlosti smerujúce doľava považovať za záporné, smerujúce doprava za kladné. Všetky rýchlosti budeme udávať voči nehybnej zemi.

Na obrázku 2a vidíme detailnejší pohľad na koleso.

obr 2

Obr. 2a

Rýchlosť lietadla je zároveň rýchlosťou stredu kolesa, pretože tento stred je voči lietadlu nehybný. Bod, v ktorom sa koleso dotýka pásu, som označil symbolom P a budem sa naň pre stručnosť takto odkazovať.

V celom výklade predpokladám, že kolesá nemôžu na páse prešmykovať, čo znamená, že bod P sa voči pásu nepohybuje a jeho jediná rýchlosť pochádza od toho, že ho pás unáša. Jeho rýchlosť je teda voči zemi.

Ďalej je zrejmé, že ak sa bavíme o rýchlosti kolesa, treba upresniť, akú rýchlosť máme na mysli. Pozrime sa na obrázok 2b:

obr 2

Obr. 2b

Doň som nakreslil rýchlosti voči stredu kolesa. Každý bod na obvode má rovnakú veľkosť rýchlosti, ktorú nazývame obvodová, ale v každom bode má táto rýchlosť iný smer.

Pretože všetky rýchlosti, s ktorými budeme pracovať, meriame voči nehybnej zemi, neoznačujem obvodovú rýchlosť samostatným písmenkom, ale ako súčin omega krát r, kde r je polomer kolesa a omega sa nazýva uhlová rýchlosť.

V zásade je rovná frekvencii f otáčok kolesa, od ktorej sa líši len faktorom 2*pí. Chápme veličinu omega ako frekvenciu otáčania kolesa.

Tento zápis rešpektuje, že omega * r je rýchlosť voči stredu kolesa. Platí teda:

(1) Obvodová rýchlosť = ω r 

Pritom kladné znamienko omega zodpovedá otáčaniu kolies proti smeru hodinových ručičiek, ako je na obrázku naznačené. Znamienko záporné zodpovedá opačnému smeru (zmyslu) otáčania.

Poďme teraz sformulovať podmienku, že koleso nesmie prešmykovať. Už sme si vysvetlili, že za tejto podmienky je rýchlosť bodu P voči zemi rovná rýchlosti pásu.

Stred kolesa sa pohybuje doprava rýchlosťou -v a bod P je unášaný týmto smerom. Ale zároveň sa bod P pohybuje v dôsledku otáčania kolesa, čo zodpovedá kladnej (doprava) obvodovej rýchlosti omega *r. Takže výsledná rýchlosť bodu P je zároveň rovná súčtu posuvnej rýchlosti -v a obvodovej rýchlosti omega *r, takže platí:

(2) u = -ν + ω r 

Táto rovnica matematicky vyjadruje, že koleso neprešmykuje. Táto podmienka musí byť splnená bez ohľadu na to, ako sa pás či lietadlo pohybujú, a vyplýva čisto z fyzikálneho usporiadania sústavy. Inými slovami, koleso sa z princípu nemôže pohybovať inak než pás.

Ak sa pás pohybuje doprava, koleso sa točí v kladnom zmysle, ak sa pás pohybuje doľava, koleso sa točí v zápornom zmysle. To je väzba daná tým, že koleso neprešmykuje.

Ak teda formulujeme úlohu tak, že koleso sa otáča nesúhlasne s pásom, potom platí, že jediné triviálne riešenie je, že sa ani jedno nepohybuje, pretože taký pohyb skrátka nie je možný.

Pochybujem však, že autorovi úlohy šlo o to, aby si čitateľ uvedomil, že 0 = -0. Preto hľadáme netriviálne a fyzikálne zaujímavé riešenie úlohy.

Podmienky kladené zadaním úlohy

Poďme teda vyšetriť, čo znamená požiadavka zadania úlohy, že rýchlosť pásu je rovnaká ako rýchlosť kolies, ale opačného smeru. Predpokladám, že úloha má zmysel, a teda že jej podstata nespočíva v tom, že podmienky sú nesplniteľné.

Pritom, ako sme ukázali, nevyhnutne platí rovnica (2), nech už podmienky zadania znamenajú čokoľvek.

V zadaní sa požaduje, aby rýchlosť pásu mala rovnakú rýchlosť ako rýchlosť kolies. Ktorá rýchlosť kolies sa myslí? Sú dve možnosti: buď sa myslí postupná rýchlosť stredu kolesa, teda v, alebo obvodová rýchlosť omega *r.

Pokiaľ by sa myslela obvodová rýchlosť, tak tá je v každom bode kolesa iná, má iný smer. Preto najprirodzenejšie je predpokladať, že ide o postupnú rýchlosť kolesa, ktorá má jasne danú veľkosť aj smer. V takom prípade v plnom znení platí môj rozbor z predchádzajúceho článku.

S pánom docentom Kundracikom sme sa, myslím, zhodli, že problém vzniká jedine vtedy, ak sa myslí obvodová rýchlosť. Zameriam sa na druhú možnosť.

To znamená, že rýchlosť pásu musí mať veľkosť omega *r a otázka je, aké má mať znamienko:

(3) u = ± ω r 

Smer má byť opačný než smer obvodovej rýchlosti. Ale čo to znamená? Ako sme si ukázali, obvodová rýchlosť má v každom bode kolesa iný smer. V bode P má obvodová rýchlosť kladný smer, ale voči pásu má rýchlosť nulovú. Čo je teda smer pohybu kolesa? Sú dve možnosti:

Prvá možnosť:

Za smer pohybu kolesa považujeme smer doľava (teda záporný smer), čo je pohyb stredu kolesa. V tom prípade rýchlosť u musí byť kladná, a teda:

(4) u = ω r 

Z toho plynie, že rýchlosť v je nulová. Túto možnosť, zdá sa, preferuje väčšina diskutérov. Táto situácia zodpovedá tomu, že lietadlo voči zemi stojí na mieste, kolesá sa otáčajú ľubovoľnou rýchlosťou a pás pod nimi uteká naopak, takže lietadlo sa nehýbe.

Ale túto možnosť som odvrhol ako nefyzikálnu, pretože ju nie je možné realizovať. Ak na začiatku lietadlo stojí a kolesá sa netočia, stojí aj pás. V momente, keď lietadlo zapne motory, uvedie sa do pohybu a podmienky zadania nie je možné splniť. Takže ak pripustíme, že reálne lietadlo má motory a pilot ich môže zapnúť, musíme túto možnosť vylúčiť.

Jediný spôsob, ako túto možnosť realizovať, je, že by niekto ručne roztočil kolesá na lietadle. Áno, je to možné riešenie úlohy, ale o to asi nešlo.

Druhá možnosť:

V tomto prípade musí byť rýchlosť pásu opačná k obvodovej rýchlosti kolies, teda voči rýchlosti bodu P. Ten sa vzhľadom na zem pohybuje v smere rýchlosti u, ale samotná rýchlosť u v tomto prípade bude opačná, než je pohyb bodu P, takže:

(5) u = – ω r 

a z rovnice (2) plynie:

(6) -ν + ω r = –ω r 

Riešenie tejto rovnice je:

(7)

7

V tejto situácii lietadlo zapne motory, pás sa pohybuje v smere pohybu lietadla, ale jeho rýchlosť je rovná obvodovej rýchlosti kolies a pohybuje sa proti obvodovej rýchlosti. Postupná rýchlosť lietadla je dvojnásobná oproti obvodovej rýchlosti kolies. Lietadlo môže vďaka motorom zvyšovať rýchlosť a po dosiahnutí potrebnej rýchlosti vzlietne.

Vzhľadom na nejednoznačnosť zadania je toto jediná netriviálna možnosť, keď lietadlo smie zapnúť motory, ktorá je v súlade so zadaním. Možno je cieľom autora úlohy, aby si človek všetky tieto možnosti uvedomil. Ešte raz: pretože v zadaní sa hovorí o pohybe pásu voči kolesám, nie je úplne jasné, ktorým smerom sa má pás pohybovať.

Ak trváme na prvej možnosti, dostaneme, že lietadlo ani nesmie zapnúť motory, a teda, samozrejme, nevzlietne. Ak nás zaujíma fyzikálne riešenie, dostaneme sa k druhej možnosti, pri ktorej sú všetky podmienky zadania splnené a lietadlo vzlietne.

Záver

Fyzikálna podstata úlohy spočíva v tom, že na pohyb lietadla nemá pohyb pásu (skoro) žiadny vplyv, a to, čo lietadlom hýbe, sú motory, ktorých funkcia s pohybom pásu nesúvisí.

Na porovnaní s autom som podrobne ilustroval, že v tomto sa lietadlo od auta líši. Nakoniec sa debata (aspoň jej relevantná časť) sústredila na to, či sú podmienky zadania logicky splniteľné. Ako ukazujem v tomto článku, sú, a to dokonca tak, že lietadlo vzlietne.

Formálne síce existuje i triviálne riešenie, keď lietadlo stojí, ale toto nemožno fyzikálne realizovať inak, než že pilot vôbec nezapne motory. Áno, v tomto majú pravdu tí, ktorí preferujú toto riešenie. Súhlasím, že ak sa motory nezapnú, lietadlo nevzlietne.

To sme však tušili i bez riešenia tejto úlohy, preto podávam vysvetlenie, v ktorom sú podmienky zadania jednoznačne splnené, lietadlo smie zapnúť motory a nakoniec aj vzlietne. Navyše je to jediné také riešenie, ktoré je v súlade so zadaním a pri ktorom lietadlo smie zapnúť motor.

Keď sme si vyjasnili všetky nuansy tejto úlohy, asi nie je nutné vyrieknuť jednoznačný záver. Problém nie je v tom, že by sme nevedeli vyriešiť úlohu, ale v tom, že úloha nie je jasne zadaná. Kým pán docent si vybral možnosť, pri ktorej pilot nezapne motory, ja som si vybral tú druhú.

Kundracik: Položme si otázku, či lietadlo vzlietne „za uvedených podmienok“

Odpovedá fyzik doc. RNDr. František Kundracik, CSc. z Katedry experimentálnej fyziky Fakulty matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave.

Zadanie úlohy nie je celkom jasné (čo to je rýchlosť kolies). Čitatelia sa v chápaní úlohy rozdelili na dve skupiny.

Prvá skupina pochopila úlohu tak, že treba odpovedať na otázku, či lietadlo dokáže na bežiacom páse vzlietnuť. Títo čitatelia tvrdia (a majú pravdu), že áno: motory lietadla sa „opierajú o vzduch“ a nie o dráhu, takže kolesá pri štarte nemajú podstatný vplyv (ani ich lietadlo nemusí mať a môže štartovať z vody na plavákoch).

Druhá skupina, patrím k nej aj ja, rozumie otázke tak, či lietadlo vzlietne za uvedených podmienok. A tie sú jasne dané – rýchlosť (podľa mňa obvodová) kolies lietadla je presne rovnaká, ako je rýchlosť pásu. To však znamená, že lietadlo vzhľadom na okolie (budovy, vzduch) stojí.

Ako je to možné? Predstavte si na stojacom páse stojace a nezabrzdené lietadlo s nenaštartovanými motormi. Potom zapneme pohyb pásu. Najprv sa vplyvom zotrvačnosti začnú otáčať kolesá lietadla, ale sily trenia spôsobia, že lietadlo sa začne postupne pohybovať doprava, až sa po chvíli kolesá zastavia a lietadlo bude pásom unášané doprava.

Podľa zadania sa však máme zaoberať situáciou, keď sa kolesá lietadla „otáčajú rovnakou rýchlosťou“, ako má pás. Preto treba naštartovať motory a trochu pridať plyn. Silou motorov lietadlo prekoná odporovú silu, kolesá sa začínajú točiť a pri správnom „plyne“ sa dosiahne stav, že kolesá sa „točia rovnakou rýchlosťou“, ako má pás. Takže lietadlo už nie je unášané pásom.

Netreba na to veľký výkon motorov, iba podobný, ako lietadlo používa pri rolovaní po letisku. Za takýchto podmienok však lietadlo vzhľadom na okolie (a vzduch) stojí, a preto nemôže vzlietnuť.

Na to, aby vzlietlo, stačí urobiť jednoduchú vec – treba spustiť motory naplno a nemeniť rýchlosť pásu. Tým začne lietadlo zrýchľovať smerom doľava, jeho kolesá za začnú točiť rýchlejšie, než je rýchlosť pásu (inak by sa museli po páse šmýkať) a pri potrebnej rýchlosti (vzhľadom na okolie) lietadlo vzlietne. Ale v okamihu vzletu už nebude „rýchlosť kolies“ rovnaká ako rýchlosť pásu (ako žiada úloha), ale bude oveľa vyššia.

Za istých okolností „áno“, za iných „nie“

Ak by teda otázka znela tak, či lietadlo bez problémov vzlietne na pohybujúcom sa páse, odpoveď je „áno“. Jediná časť lietadla, ktorá si pohybujúci sa pás riadne „uvedomí“, sú kolesá, lebo sa budú musieť točiť oveľa rýchlejšie.

Ak sa však držíme otázky, či lietadlo vzlietne za situácie, keď je „rýchlosť kolies“ rovnaká ako rýchlosť pásu, odpoveď je „nie“. Za takejto situácie lietadlo vzhľadom na okolie stojí a nemá vztlak na krídlach.

Celá situácia s pásom je však čisto hypotetická a prakticky sa ani nedá realizovať. Ak by naozaj pás dokázal tak zrýchľovať, že aj pri naplno pustených motoroch by dokázal udržať lietadlo v pokoji vzhľadom na okolie (jeho rýchlosť by sa rovnala „rýchlosti kolies“), vynorí sa otázka, kam sa podela energia motorov.

Niečo sa minie na zvírenie vzduchu, niečo sa trením premení na teplo, ale zvyšok získajú pohyblivé objekty – kolesá. Každé koleso je tlačené oskou (lietadlom) doľava a zrýchľujúcim sa pásom (pomocou trenia) doprava. Tým na kolesá pôsobí krútiaci moment a neustále zvyšujú svoje otáčky. Pri naplno pustených motoroch by trvalo iba chvíľku, kým by otáčky kolies (a rýchlosť pásu) dosiahli také hodnoty, že to konštrukčne nevydržia.

Teraz najčítanejšie