Matematika je dobrodružný svet. Vieme medzi sebou porovnávať viacero nekonečien, hovorí matematik

V rozhovore sa dočítate aj o tom:

• ako sa dá skúmať chaos;
• či treba mať na matematiku talent;
• ako sa nám matematika zišla počas pandémie;
• ako funguje takzvaný pohyb motýlích krídel;
• či sa dá matematikou uživiť.

Tento článok si môžete prečítať vďaka ESET Science Award – oceneniu, ktoré podporuje výnimočnú vedu na Slovensku. 

Keby som sa vás spýtala, načo budem v živote potrebovať matematiku, čo by ste mi povedali?

Nedá sa predpovedať, na čo ju v budúcnosti využijete, ale je dobré mať v zálohe všestranné vzdelanie. Keď som sa napríklad na strednej škole učil naspamäť históriu, nebavilo ma to a takisto som sa pýtal, načo mi to bude. No dnes si vďaka tomu viem oveľa lepšie zaradiť informácie, ktoré počujem. Rovnako je to s matematikou. Ani si neuvedomujeme, ako často ju používame. Napríklad keď si ideme vybaviť pôžičku. Vtedy je plus, ak sa v tých číslach vieme aspoň trochu zorientovať.

Využívate aj vy matematiku pri riešení dennodenných problémov, ktoré nesúvisia s vedou?

Uvedomil som si, že ani nie, lebo ja žijem teoretickou matematikou stále. Keď riešim nejaký problém, úplne ma pohltí. Samozrejme, keď mám nejaké výdavky, tak si matematikou pomôžem, ale nemyslím, že viac ako ľudia, ktorí nie sú matematici.

O matematike sa často hovorí, že je univerzálnym jazykom vedy. Musí ju ovládať väčšina vedcov?

Filozof ju asi nepotrebuje, ale opäť sa vrátim k tomu, že je dobré mať všeobecné vzdelanie. Ak vedec pracuje s nejakými dátami, tak sa bez nej určite nezaobíde, lebo ich nevie správne spracovať a vyhodnotiť.

Na Slovensku nie je povinná maturita z matematiky. Zaviedli by ste ju?

Nie, pretože veľa závisí od toho, kam chce ísť človek v živote ďalej. No rozhodne by som študentov usmernil v tom, že v technických odboroch to bez matematiky jednoducho nejde.

Veľa ľudí hovorí, že nemá matematické myslenie. Čo to vlastne je a môžem ho nemať?

Na pokročilú matematiku treba mať nejaké vlohy a talent. Skúste si pozrieť nejaké matematické hlavolamy. Ja som to takto skúšal a zistil som, že ma to baví a ide mi to.

Keď som bol menší, rád som kreslil a veľmi ma to bavilo. No uvedomil som si, že mám určitý level, ktorý v kreslení nedokážem prekonať. Potom som prišiel k matematike. Aj tam som si postupne naberal komplikovanejšie úlohy, no vyššie levely som prekonával s ľahkosťou. Preto som pri matematike zostal.

Prečo má vlastne matematika medzi žiakmi takú zlú povesť a vo všeobecnosti nepatrí medzi obľúbené predmety?

Na začiatku štúdia nebola matematika ani môj najobľúbenejší predmet. Začal som sa jej venovať až na konci základnej školy. Vtedy som si uvedomil, že sa nemôžem vyhovárať na to, ak mi učiteľ nedáva viac informácií. Keď som zvedavý, tak sa musím vzdelávať aj sám.

Tak som šiel za matematikárkou a poprosil ju, aby mi dala špeciálnu zbierku príkladov, ktorú som si doma počítal. Študenti by v tomto mali byť samostatnejší a rozvíjať sa v tom, čo ich baví.

Na začiatku ste však museli mať prvý impulz, ktorý vás motivoval venovať sa matematike bližšie.

Keď som bol približne ôsmak, tak som si uvedomil, že detstvo sa skončilo a musím niečo robiť. Bol som dobrodružný typ, tak som si našiel dobrodružstvo aj v matematike. Aj keď sa môže zdať na prvý pohľad suchá, v skutočnosti je veľmi akčná. Zaviedla ma do sveta, do ktorého by som sa bez nej nikdy nedostal. Je to ako v rozprávke. Keď čítate rozprávkovú knižku, zavedie vás napríklad do sveta obrov. Matematika ma zaviedla do sveta veľkej predstavivosti a stále ma vedie ďalej.

O matematike rozprávate, ako keby to bol dobrodružný svet.

Veď aj je. Napríklad keď si zoberiete pojem nekonečna. Ťažko si predstavíte, čo to nekonečno je. Ale v matematike vieme štruktúrovať a porovnávať viacero nekonečien medzi sebou.

Vy viete porovnávať viaceré nekonečná?

Áno, napríklad keď si zoberiete prirodzené čísla. Je ich nekonečne veľa. Ale potom si zoberte úsečku, ktorá má nekonečný počet bodov. Ktoré nekonečno je väčšie? My vieme, že to na úsečke. Takisto vieme, že keď si zoberiete úsečku a štvorec, ide o rovnaké nekonečná. Aj keď sa zdá, že na štvorec sa tých bodov zmestí viac.

Patríte k percentu celosvetovo najcitovanejších vedcov vo svojom odbore. Čo to znamená?

Že veľa ľudí citovalo moje články, z čoho som bol aj sám prekvapený. Myslím, že v porovnaní so mnou mám aj oveľa lepších kolegov. Ale určite je to pre mňa signál, že idem správnou cestou. Dodáva mi to aj pokoru, aby som nebol ako Ikarus, ktorý vzlietne vysoko a potom zhorí.

Hlavným predmetom vášho výskumu sú nelineárne dynamické systémy a procesy, v ktorých skúmate chaos. O čo tam ide?

Jednoduchým príkladom chaotického systému je obyčajné kyvadlo. Na jeho pohyb vieme napísať nelineárnu rovnicu, ktorú potom musíme riešiť. Kyvadlo sa totiž správa chaoticky. Keď trošku zmeníte počiatočné podmienky, tak začne kmitať celkom inak. Nedá sa to predpovedať.

Načo potrebujem vedieť opísať pohyb kyvadla?

Lebo tá rovnica nehovorí len o tom, ako kmitá kyvadlo na Zemi. Vďaka nej viem aj to, ako sa kýva kyvadlo na Mesiaci a iných planétach. Nemusím tam ísť osobne, aby som ho pustil a zistil jeho periódu. Viem to z parametrov tej rovnice. To sa dá využiť napríklad vo vesmírnom výskume.

Známym príkladom nelineárnych rovníc je aj pohyb motýlích krídel. Čo môže spôsobiť?

Prišiel na neho Edward Lorenz, keď sa snažil modelovať počasie. Keď svoje rovnice prebehol počítačom, zistil, že sú citlivé na počiatočné podmienky. Nie je tam žiadna stabilita. Preto sa to vysvetľuje tak, že ak niekde motýľ zakýva krídlami, tak aj svojím malým vplyvom môže výrazne ovplyvniť počasie niekde úplne inde. Samozrejme, ide o metaforu a nie je to doslovne tak. Ale ukazuje to, že svet, ktorý máme naokolo, je taký komplexný, že je takmer úplne nepredvídateľný. Pri riešení podobných úloh treba dáta stále preverovať v konkrétnom čase.

K vášmu výskumu patrí aj modelovanie šírenia ohňa. Kde sa využíva?

Na Slovenskej technickej univerzite na to naprogramovali program, ktorý využívajú pri lokalizácii ohňa. Keď je požiar v nejakom neprístupnom teréne, tak sa z jeho kraja spätne snažia nájsť jeho ohnisko. Ja som tomu robil iba teoretický základ, keď som ukázal, že to má nejaké riešenie, oni to však používajú aj v praxi.

Matematika sa nám zišla aj počas pandémie na modelovanie predpovedí jej vývoja. Využívala sa v nich aj vaša teoretická práca?

Robil som zopár článkov o pandémii. Niektoré teórie o modelovaní pandémie som poznal už predtým, lebo to sú známe diferenciálne rovnice. V rámci pandémie sa rýchlo vyvíja aj dátová veda. Na matematike je dobré, že je otvorená a vie reflektovať aktuálnu situáciu v spoločnosti. Jej vývoj ide ruka v ruke s pokrokom.

Kde je v modelovaní pandémie nelineárny jav?

Ak by to bolo lineárne, tak pokiaľ by som vedel, ktorí ľudia sú infikovaní a ktorí nie, bolo by veľmi jednoduché priebeh pandémie analyzovať. Stačili by nám tri riešenia a mali by sme to vypočítané, lebo ich kombináciou vypočítame všetky. Ale pandémia nie je lineárna. Aj keď poznáme obe hodnoty, tretiu z nich nevieme vypočítať, aj keď bude počiatočná podmienka ich súčet.

Kde všade sa ešte stretávame s nelineárnymi rovnicami a ani o tom nevieme?

V biológii je zaujímavým príkladom populačná dynamika. Máme napríklad nejaký ostrov, kde žijú zajace a líšky. Diferenciálnou rovnicou vieme zapísať, ako sa bude počet líšok a zajacov meniť. Zajace sa budú síce rozmnožovať, no líšky ich zároveň požierajú. Keď však líšky požerú všetky zajace, aj ony po určitom čase zomrú, lebo nebudú mať čo jesť. Podľa toho, aké sú vstupné parametre, vieme skúmať dynamiku a vďaka rovniciam vieme, aké cykly môžu nastať.

Podobne je to aj v ekonómii, keď sa počíta napríklad hrubý nominálny dôchodok. Vo fyzike sa nelineárnymi rovnicami počíta napríklad pohyb planét a tak ďalej.

Na akom matematickom probléme momentálne pracujete?

Momentálne sa zaoberám najmä systémom, v ktorom skúmam chaotické riešenia. Trochu sa venujem aj učeniu v robotike, ktoré sa pravidelným opakovaním zlepšuje, a zaoberám sa aj výpočtom ekonomických parametrov. Zvyčajne sa venujem viacerým problémom naraz.

Čo je podľa vás v matematike zatiaľ najzaujímavejším, dosiaľ nevyriešeným problémom?

Zaujímavý je Collatzov problém. Je to vlastne hra, v ktorej si zoberiete hocijaké prirodzené číslo, a ak je párne, vydelíte ho dvojkou. Ak je nepárne, vynásobíte ho trojkou a pridáte jednotku. Keď budete opakovať tieto kroky s novým číslom zas a znova, nakoniec vždy skončíte pri jednotke.

Vizualizácia Collatzovej konjunktúry. Zdroj – YouTube/Adrian M Wadley

Problém je však v tom, že aj keď matematici dokázali, že to tak funguje s miliónmi čísel, nenašli žiadne, ktoré by sa pravidiel nedržalo. Excelentný matematik Erdős povedal, že k takej matematike, ktorou by sme to vedeli vyriešiť, sme ešte nedospeli. Ani ja si to neviem predstaviť. To sú zatiaľ mantinely nášho rozumu.

Aké sú v matematike momentálne trendy?

Celá matematika je podľa mňa jeden veľký trend, lebo vidím, ako sa rýchlo rozvíja. To je pre mňa fantastické. V mojom odbore sú teraz veľmi v kurze neceločíselné diferenciálne rovnice. To sú rovnice, ktoré zachovávajú pamäť. Na to, aby sme vedeli, ako sa správa riešenie dnes, musíme do neho zahŕňať aj predchádzajúce výsledky. Dopredu ide veľmi rýchlo aj spomenutá dátová veda. To je kombinácia informatiky, štatistiky a analýzy. Ďalším rýchlo sa rozvíjajúcim odborom je umelá inteligencia, najmä neurónové siete. Aj vďaka matematike sa vedci snažia lepšie pochopiť činnosť mozgu. O tom, ako funguje, vieme totiž stále veľmi málo.

Ktoré krajiny majú silnú matematickú tradíciu? Patrí medzi ne aj Slovensko?

Nemôžeme sa porovnávať s veľkými krajinami ako Rusko či USA, ale bývalé krajiny Rakúsko-Uhorska majú celkom dobrú tradíciu štúdia matematiky. U nás sa najviac rozvíjala v druhej polovici minulého storočia. Keď sa však pozerám na svojich súčasných študentov, obdivujem ich talent a zanietenie. Veľmi rád s nimi pracujem, lebo ich mladícka zanietenosť prechádza aj na mňa. Prichádzajú s novými problémami, na ktoré by som možno inak nemal čas alebo by som si ich nevšimol.

Je byť matematikom atraktívne povolanie a dá sa tým uživiť?

Na našej fakulte máme populárne odbory ako finančná matematika. Naši študenti sa tu naučia aj programovať a obsah sa trochu kryje s manažmentom. Teoretická matematika je o niečo menej populárna, ale ľudia, ktorí robia matematiku, sa podľa mňa všeobecne v živote nestratia. Majú do života dobrý základ, pretože na to, aby ste robili matematiku, musíte v sebe vypestovať disciplínu a húževnatosť v myslení. Keď chcem pochopiť hocijakú jednoduchú vetu, viem, že si k nej musím pozorne sadnúť a do hĺbky pochopiť, čo vlastne hovorí. To sa dá neskôr využiť hocikde.