Matematik Kubáček: Nerád počujem, že niekto nemá bunky na matematiku, základy dokáže zvládnuť každý

Najmä na stredných školách máme tendenciu učiť žiakov v „matematičtine“, za ktorou nemusia vidieť, aké problémy rieši, hovorí vysokoškolský učiteľ Zbyněk Kubáček, ktorého prednášky majú na YouTube viac ako dva milióny videní. „Matematika sa v zásade vždy vyvinie z riešenia konkrétnych a predstaviteľných situácií. Až postupne z toho vzniká nejaká teória,“ vysvetľuje.

V rozhovore sa okrem iného dočítate:

• či je tvrdenie „nemám bunky na matematiku“ výhovorkou;
• čo na matematike deti a študentov často odrádza (a ako sa tomu snažiť vyhnúť);
• čo si myslí o Hejného metóde učenia matematiky;
• prečo matematik Chrysippos zo Soloi umrel od smiechu;
• čo je matematické myslenie a ako sa k matematike vrátiť aj v zrelom veku.

Tento článok si môžete prečítať vďaka ESET Science Award – oceneniu, ktoré podporuje výnimočnú vedu na Slovensku. 

Ako často musíte odpovedať na otázky typu „prečo nemáme radi matematiku“? Neotravuje vás to už?

Nie je to až také časté, takže nie. Ale také otázky ma netešia, pretože je škoda, že ju ľudia nemajú radi.

S čím sa ľudia podľa vás stretávajú častejšie? S reálnym strachom z obsahu matematiky alebo so všeobecnými predsudkami typu „matematika je ťažká a nie je pre každého“, ktoré potom ich vzťah k predmetu formujú?

Neviem to úplne oddeliť, ale počul som niekoľko príbehov, ako rodičia dieťaťu vsugerovali frázy typu „ani my sme nevedeli matematiku, ani tebe to nepôjde, ale musíš to nejako prežiť“. Tam sa dá očakávať, že u dieťaťa vznikne pocit, že na to nemá. No a keď čokoľvek robíte s takouto predstavou, tak výkon asi nebude veľká sláva.

Matematiku na svojich vysokoškolských prednáškach často vysvetľujete cez zábavné príbehy či obrazné prirovnania. Dá sa to takto učiť aj na strednej či základnej škole alebo sa najprv treba nabifliť základné mechanizmy, ktorými sa potom dajú robiť kreatívne veci?

Slovo „nabifliť“ nie je šťastné. Dostávame sa ním k otázke, ako by sa matematika mala učiť, čo je veľmi výbušná téma. Ak sa tvárime, že sa naučíme nejaké nástroje, ktoré budeme neskôr používať, tak to platí najmä pre skupinu ľudí, ktorí ju budú potrebovať v ďalšom odbornom raste. U nich do istej miery platí, že aj keby sa to naučili naspamäť a bez pochopenia, tak ich opakované používanie týchto nástrojov môže priviesť k pochopeniu, ako sa veci majú.

Ale veľká skupina, na ktorú sa niekedy zabúda, sú ľudia, ktorí sa s matematikou po strednej škole už v odbornom živote nestretnú. Ak ich budeme učiť iba používanie týchto nástrojov, mám podozrenie, že im matematika nič nedá. To je problém, pretože kedykoľvek sa snažíme zdôvodniť matematiku ako všeobecnovzdelávací predmet, tak hlavný argument je, že matematika učí myslieť. Ale to by malo byť v súlade s tým, ako matematiku učíme.

Ako zaujať aj skupinu, ktorá sa s matematikou stretne len na základnej a strednej škole?

Budem prudko zjednodušovať, ale matematika sa v zásade vždy vyvinie z riešenia konkrétnych a predstaviteľných situácií. Až postupne z toho vzniká nejaká teória. Ale my máme tendenciu učiť už na strednej škole žiakov v tej „matematičtine“, za ktorou nemusia vidieť, z čoho vznikla a aké problémy rieši. Najmä na základnej a strednej škole by sme sa mali snažiť vychádzať z konkrétnych problémov a postupne prechádzať do matematického jazyka.

Priznávam, že som na základnej a strednej škole patrila k žiakom, ktorí hovorili, že na matematiku nemajú bunky. Je toto tvrdenie iba výhovorkou?

Mňa pred maturitou vybrali do takého výskumu, kde nám robili testy na výber povolania. Ich súčasťou bola aj priestorová predstavivosť a vyšlo z nich, že ja žiadnu nemám. Takže test mi výrazne odporúčal, aby som sa venoval humanitným disciplínam. Napriek tomu ma matematika baví a priestorovú predstavivosť proste kompenzujem niečím iným.

O „bunkách na matematiku“ celkovo nerád počujem, pretože si myslím, že akési základy je schopný zvládnuť každý. Problém je, ak začnete na škole priskoro s matematickým formalizmom. Namiesto toho, aby sa dieťa sústredilo na rozmýšľanie a hľadanie riešení, je potom tlačené do toho, aby veci označovalo dohodnutým spôsobom. To ho môže doviesť k dojmu, že na matematiku nemá, hoci v skutočnosti možno nemá iba na ten formalizmus.

Jedna moja známa uvádza k tomuto veľmi pekný príklad. Na matematickom tábore mali dve skupiny detí, ktorým dali objavovať poznatky o priestorových objektoch. Jednej skupine pritom do toho nevstupovali, aj keď deti používali nesprávnu terminológiu. No druhú skupinu veľmi prísne opravovali, ak povedali napríklad, že kocka má stranu a nie stenu. Výsledok nebol prekvapivý – druhú skupinu to prestalo baviť, zatiaľ čo tá prvá radostne bádala. To je, samozrejme, extrémny príklad, ale upozorňuje na to, že keď sa u detí príliš sústredíme na formálnu stránku matematiky, nemusí to byť dobré.

Ako teda čo najlepšie učiť matematiku, aby to deti neodradilo?

Existujú snahy spríjemniť deťom učenie matematiky a súbežne s tým existuje znepokojenie časti matematikov, ktorí majú pocit, že keď sa to nerobí spôsobom, ako sme boli zvyknutí, tak sa tá matematika nenaučí poriadne. Súhlasím s tým, že nie všetko je v živote ani v matematike príjemné. Človek si musí zvykať aj na prekonávanie prekážok a to by sa mal naučiť aj v škole. Ale treba dodať, že pokiaľ vieme niečo urobiť príjemným, mali by sme sa o to čo najviac snažiť. Samozrejme, aj pri takejto snahe narazíme na miesta, ktoré sa proste musia prekonať. Ale nepovažujem za správne, aby sme vedome povedali, že matematika je jednoducho ťažká, tak my ju urobíme ťažkou ešte aj tam, kde netreba.

Druhý problém je rozsah toho, čo chceme naučiť, a naše časové možnosti. To veľmi obmedzuje učiteľa v tom, že on má kdesi na konci nejakú kontrolu, či dieťa vie všetko, čo má vedieť. Matematika je predmetom prijímacích skúšok na stredné školy, a preto doma väčšinou zaznieva otázka, čo bolo z matematiky a zo slovenčiny. Sú to totiž kľúče k ďalšiemu postupu a to je zároveň prekliatie matematiky. Deti potrebujú tieto prijímacie skúšky zvládnuť, takže je kontrolovanejšia. Môže to viesť k tomu, že aj rodičia sú veľmi ostražití voči akýmkoľvek modernizačným snahám vo vyučovaní matematiky. Niekedy teda nemáme čas skutočne sa v probléme porýpať a ukazovať aj nesprávne riešenia. Pretože ukazovanie len správnych riešení je menej ako polovica úspechu. Často až vtedy, keď uvidíte aj tie nesprávne, skutočne pochopíte, prečo to skrátka funguje alebo nefunguje.

Mala by byť podľa vás matematika povinným maturitným predmetom?

Ja osobne som proti. Súvisí to s tým, že hneď, ako bude maturita z matematiky povinná, tak to podľa mňa zníži snahu spraviť vyučovanie matematiky zaujímavejším a zmysluplnejším. Zdanlivo to celé bude vyriešené tým, že na konci štúdia nastane krutý moment, keď to študent zvládne alebo nezvládne. Namiesto hľadania vnútornej motivácie tak nastúpi vonkajšia motivácia – skúška.

Druhá vec, ktorá ma trápi, je, že ak by sa povinná maturita z matematiky mala robiť zmysluplne aj pre ľudí, ktorí ju v odbornom živote už nebudú potrebovať, mala by preverovať ich schopnosti logického rozmýšľania a argumentácie. A to je vlastne oveľa ťažšie ako súčasná maturita, ktorá vyžaduje naučené výpočtové postupy a overenie, či ich študent dokáže nejako prepájať. Ale keď si povieme, že chceme preveriť, či ten človek vie preukázať svoje logické rozmýšľanie, tak máme pred sebou veľmi ťažkú úlohu na vymýšľanie úloh aj metód skúšania.

Máte aj radu pre rodičov, ako sa učiť matematiku s deťmi?

Nemám a myslím si, že by bolo pekné, keby sa rodičia s deťmi matematiku učiť nemuseli. Keby ju dieťa pochopilo v škole a zadané úlohy boli také, že ich dieťa vie vyriešiť samo, prípadne sa o tom poradiť na druhý deň v škole. Ale je mi jasné, že do toho vstupuje nesmierne veľa problémov, ktoré ja nevidím a v rámci ktorých by mi učitelia povedali, že si to predstavujem ako „Hurvínek válku“.

Niekoľkokrát ste spomenuli, že matematika nás učí myslieť inak. Ako si to môžeme predstaviť?

Matematické myslenie súvisí s využívaním klasickej logiky a argumentácie. To je napríklad schopnosť uvedomiť si, že nejaké vaše tvrdenie nemôže byť pravda, lebo existuje nejaký protipríklad. Aj ostatné predmety majú príležitosti na výučbu argumentácie a dôvodenia, ale matematika je na to ako stvorená. No a potom sú tu základné matematické nástroje, ktoré využijeme v bežnom živote – napríklad trojčlenka, priama úmera alebo percentá. Je dosť ľudí, ktorí sú dokonca vysokoškolsky vzdelaní, no stále si nie sú úplne istí, či niečo, čo najprv zlacnie o 20 % a potom zase zdražie o 20 %, bude mať rovnakú cenu alebo nie.

Prečo je to podľa vás tak?

Je to signál, že ich to v škole naučili nejakou technikou, ktorú zabudli, ale nerozumejú tomu. V tých školských časoch v nich možno bola otázka, prečo to tak je, ale buď ju neodvážili položiť, alebo nedostali uspokojivú odpoveď. Keď deti naučíme používať pravidlá bez toho, aby im porozumeli, tak budú v netypických situáciách stratené. Lebo keď sa ten návod naučíte naspamäť, potom vám v ňom vypadne povedzme krok číslo 15 a vy tomu nerozumiete, tak si ho nemáte ako zrekonštruovať. Tento problém môže súvisieť aj s tým, že na základnej a strednej škole sa toho snažíme urobiť nesmierne veľa a jednotlivým témam nevenujeme dosť času.

V škole sme sa učiteľov často pýtali, načo nám budú rovnice a vzorce v bežnom živote. Kde ste matematiku naposledy využili v „nematematickom“ živote vy?

Keďže som svojho času robil sériu stredoškolských učebníc matematiky, vypestoval som si zvyk hľadať matematické úlohy okolo seba. Celá rodina z toho mala zábavu, ale teraz si nespomeniem, kedy som naposledy niečo využil. Čo si však rád a všade všímam, sú gotické motívy. Dlho som sa zaoberal rysovaním a uvedomil som si, že keď máte v škole rysovať trojuholník s určenými stranami, je to dosť neinšpiratívna úloha. Keď sa pri rysovaní netrafíte, tak vás to veľmi netrápi. Ale keď dostanete narysovať nejaký ornament, napríklad gotický, pri ktorom skutočne záleží na presnosti, lebo inak to bude škaredé, snažíte sa pravdepodobne oveľa viac.

Okrem gotickej architektúry využíva matematiku napríklad aj islamská architektúra a vidíme ju na množstve klasických obrazov. Zíde sa umelcom matematika aj dnes?

Podľa mňa sa s ňou nevyhnutne stretávajú. Jednou z dôležitých etáp vývoja maľby bol napríklad začiatok používania perspektívy. Lineárna perspektíva je pritom matematická disciplína. Je mi trochu ľúto, že sa s ňou ľudia nestretnú na stredných školách, lebo podľa mňa to patrí k všeobecnému vzdelaniu. Keď ma na ňu môj otec, ktorý bol matematik a geodet, počas stredoškolských čias upozornil, bol som úplne fascinovaný tým, ako ňou viem dosiahnuť reálne zobrazenie priestoru. Perspektíva je zároveň jedna z tém, ktorou sa dá trochu rozvíjať aj priestorové videnie.

Na ktorom známom obraze by sme si mohli lineárnu perspektívu ilustrovať?

Napríklad na Aténskej škole od Raffaela.

Znova sa vrátim k stereotypom. Niekoľkokrát som počula vyjadrenie, že matematika mi nemusí ísť, lebo dievčatá sú talentované skôr na humanitné vedy a chlapci skôr na matematiku. Stretávate sa s nimi ešte stále?

Keďže sa pohybujem na matfyze, nie je to také silné, ale niekedy sa s tým stretávam. Keď som učil odbor informatika, ktorý študovali čistí informatici a spravidla najvyberanejší študenti prvého ročníka, tak kedysi tam bolo nesmierne málo dievčat. Ale moja skúsenosť bola, že jedno z nich bolo vždy najlepšie v ročníku. Takže asi je to tak, že keď dievčatám natlačíme do hlavy, že na to vlastne nemajú a nemali by to robiť, tak ich odradzujeme od niečoho, čo by samo osebe fungovalo.

Môj možno nespravodlivý a určite zovšeobecňujúci dojem je, že dievčatá majú väčšiu tendenciu rešpektovať školské pravidlá, čiže majú snahu vyhovieť spôsobu vyučovania. Ak ten spôsob vyučovania nepodporuje argumentáciu a uvažovanie, tak sa tomu prispôsobia skôr než chlapci. Takto komplikovane som vlastne chcel naznačiť, že si nemyslím, že jedno pohlavie má na matematiku väčšie predpoklady ako to druhé.

Mení sa od začiatku vašej učiteľskej kariéry pomer medzi študentmi a študentkami?

Nemám to spočítané, ale môj optický dojem je, že počet dievčat sa zvyšuje.

Na niektorých základných a stredných školách sa využívajú inovatívne metódy výučby matematiky, napríklad Hejného matematika. Sú študenti, ktorí prichádzajú na vysokú školu a absolvovali takúto inovatívnu výučbu, skôr vo výhode, pretože vedia rozmýšľať inak, alebo v nevýhode oproti študentom, ktorí prišli z konvenčných stredných škôl?

O Hejného matematike to vôbec neviem povedať. Jednak si myslím, že študenti, ktorí sa učili podľa nej, ešte nie sú v takých vysokých ročníkoch, aby išli už na vysokú školu. Druhá vec je, že aj keby boli, tak sa študentov nepýtame, ako sa učili matematiku. Výhodu majú určite študenti, ktorí sa zapájali do rôznych korešpondenčných seminárov. V rámci nich riešia doma úlohy, ktoré potom posielajú hodnotiteľom. Tam je veľmi dôležité, že hodnotenie nespočíva iba v slovách správne/nesprávne, ale dostanú k tomu celý komentár, ktorý je vedome robený povzbudivo. Absolventi takýchto seminárov sú vďaka tomu oveľa pripravenejší na vysokoškolský prístup v matematike.

Aký je váš osobný názor na Hejného metódu?

Samotná Hejného metóda je podľa mňa veľmi dobre vymyslená vec, ktorá sa však musí použiť správnym spôsobom. Sám profesor Hejný upozorňuje, že neexistuje univerzálna metóda, a aj tá jeho môže istým deťom vyhovovať a iným nie. Ale je v nej vyriešených veľmi veľa vecí, ktoré trápia učiteľov matematiky. Mnohé nedorozumenia podľa mňa vznikajú pre veľmi zjednodušené formulácie pri propagácii tejto metódy.

Napríklad veľké vzrušenie v matematickej obci vzbudzuje zjednodušené heslo, že učiteľ, ktorý učí Hejného metódou, nemusí vedieť matematiku. Keď to poviete matematikovi, aj keby ste to povedali mne, tak sa z toho chvíľku spamätávam. Ale Hejného metóda pôvodne vznikla najmä pre základné školy a to zjednodušené heslo podľa mňa súvisí s tým, že je oveľa viac postavená na práci žiaka, čo uľahčuje prácu učiteľom na prvom stupni, ktorí si v matematike často sami neveria. Samozrejme, ideálny prípad je, ak si učiteľ myslí, že mu Hejného metóda dá niečo navyše, a zároveň sám matematiku dobre ovláda.

V súvislosti s Hejného metódou vidím problém aj v tom, že sa o nej často diskutuje nie na základe jej poznania a konkrétnych úloh, ale na základe novinových článkov a tých zjednodušených výkrikov. Podľa mojich skúseností veľa ľudí, ktorí vehementne kritizujú Hejného metódu, často nevie, o čom rozprávajú.

Zmenila nejako výučbu matematiky umelá inteligencia? Musíte si dávať pozor, či niekto nevyrieši zadanie vďaka nej?

V tomto prípade sa pýtate priam brontosaura v oblasti moderných technológií, pretože s umelou inteligenciou som sa zatiaľ veľmi nekontaktoval. Keď sa na to snažím pozerať pozitívne, tak nás môže prinútiť, aby sme rozmýšľali, ako úlohy robiť tak, aby neboli týmto spôsobom riešiteľné. Alebo aby sa možnosti umelej inteligencie využívali tak, že vo výsledku bude viditeľný aj prínos študenta.

Ale čo sa týka podvádzania, mám osobnú skúsenosť s tým, že študenti sú vždy aspoň dva kroky pred nami. Zatiaľ čo my riešime znemožňovanie spôsobu podvádzania z čias Rakúsko-Uhorska, myslím si, že študenti so záujmom sledujú, aké blbosti robíme, pretože už majú vymyslené niečo úplne iné. Ja som v tomto smere veľmi naivný a myslím si, že sa máme snažiť, aby druhá strana pochopila, že podvádzanie je neetickou záležitosťou a že je to trápne. Občas s tým mám asi trojpercentný úspech, keď sa to snažím študentom vysvetľovať.

Vaše prednášky sú uverejnené aj na YouTube, kde jednotlivé časti majú desaťtisíce až státisíce videní. Často v nich používate aj pútavé príbehy či humor. Je teda len predsudkom, že matematici sú suchári?

Myslím si, že matematici sú presne rovnakou profesijnou skupinou ako ktokoľvek iný. Mám známych, ktorí sú strojári, a keď si medzi sebou rozprávajú vtipné historky zo strojáriny, nerozumiem ani slovu. Lebo tam sa to končí tým, že „osemnástka“, oni sa na tom smejú desať minút a ja vôbec nechápem, čo by na tom mohlo byť žartovné.

Aj matematika je akýsi svet, ktorý si žije svojím životom, ale nemyslím si, že by sa nejako veľmi líšil od iných svetov. Ten stereotyp asi súvisí s tým, že matematika si postupne vybudovala imidž založený na prestíži – že je ťažká a jej učenci sú ohromne vzdelaní, zachmúrení a zahľadení do seba. Ale podľa mňa to tak nie je.

Zbyněk Kubáček: Čo a ako by sa mal z matematiky učiť nematurant? Zdroj – Matematika pro život/YouTube

Učí sa s humorom vo všeobecnosti ľahšie? Aj vám ako učiteľovi, aj študentom, ktorí sledujú vaše prednášky?

Neodvážil by som sa tvrdiť, že si prednášky takto vedome pripravím a plánujem vtipy. Spôsob, akým rozprávam v prednáškach, je mi prirodzený a mám názor, že humor je iba jedna z vecí, ktoré môžu študentovi pomôcť. Ale v každom prípade potrebuje mať možnosť vynoriť sa na chvíľu z matematických vôd a nadýchnuť sa. Preto majú tie prestávky obrovský význam, či už sú dané nejakou humornou historkou, alebo čímkoľvek iným.

Aký je váš najobľúbenejší vtip o matematike? Ale nech to, prosím, nie je „15“.

Teraz ste ma úplne dobehli, lebo si na žiaden nespomeniem. Napadá mi iba obľúbený a absolútne nematematický vtip už nebohého profesora Huťu, ktorý bol ikonickou postavou z histórie našej fakulty. Išlo v ňom o výzvu pre všetkých železničiarov na Hlavnej stanici, aby sa postavili na druhý perón a vyplazili jazyk. Keď to urobili, prefrčal okolo nich rýchlik a rozhlas im ohlásil, že práve prešli prehliadkou u závodného lekára. To berte skôr ako historickú spomienku, že takéto vtipy sa rozprávali na matfyze okolo roku 1975.

Mojou obľúbenou prednáškou, ktorú máte na YouTube, je Ako zomiera matematik, ktorá je o bizarných úmrtiach slávnych matematikov. Prečo ste si vybrali práve takúto tému?

Celý úspech tých prednášok je zásluhou oddelenia propagácie našej fakulty, ktorá sa ju snaží rôznymi spôsobmi zviditeľniť, a osobitne Stana Griguša, ktorý na oddelení pôsobí. Jedným z ich nápadov bolo nahrávať niektoré prednášky a táto vznikla, keď bolo treba niečo vymyslieť v rámci dňa otvorených dverí. No a bolo to práve v období, keď som narazil asi na štvrtý prípad, ako niekto v oblasti matematiky prekvapujúcim spôsobom umrel.

Prednáška Ako zomiera matematik. Zdroj – FMFI UK/YouTube

Aká je vaša najobľúbenejšia historka z bizarných koncov matematikov?

Je viacero dobrých, ale vtedy sa mi najviac páčil príbeh Chrysipposa zo Soloi (úmrtie 206 p.n.l., Atény – pozn. red.), o ktorom sa hovorí, že zomrel od smiechu. Všetky tie historky sú, samozrejme, legendami a tá o ňom vraví, že videl somára, ako zjedol z jeho stromu figy, ktoré sa práve chystal jesť sám Chrysippos. Začal sa na tom smiať, ešte stihol povedať sluhovi, aby dal tomu somárovi víno na zapitie, a potom sa smial ďalej, až zomrel. Znie to ako šťastná smrť, aj keď nechápem, na čom sa vlastne smial.

Akú prestíž mala matematika a samotní matematici v minulosti? Patrili medzi smotánku spoločnosti?

Až do konca devätnásteho storočia vlastne neexistovali čistí matematici. Takáto špecializácia vznikla až niekedy v devätnástom storočí. Dovtedy to boli skôr učenci o prírodných vedách, ktorí sa vyznali vo fyzike, v matematike, astronómii a tak ďalej. Takýchto vzdelancov bolo v minulosti veľmi málo a zákonite teda mali pomerne vysoký spoločenský status. Bola ich taká hŕstka, že až do osemnásteho storočia medzi sebou mnohí dokázali udržiavať písomný kontakt. To pri dnešnom obrovskom rozvoji vedy a techniky už nie je možné.

Veľa sme sa rozprávali o tom, ako matematika môže zlepšiť naše myslenie. Je populárna aj na univerzitách tretieho veku či programoch celoživotného vzdelávania?

Nie som si vedomý toho, že by napríklad na Univerzite Komenského v Bratislave bola matematika v ponuke Univerzity tretieho veku, ale vôbec by to nebola zlá myšlienka. V minulosti som napríklad narazil na internetový článok hovoriaci o skupine dôchodcov, ktorá sa zaoberala stolovou metódou mapovania. Lektori im to predviedli a oni potom vybehli so stolčekmi do terénu a robili plány okolia. To je krásna vec.

Pokiaľ by som si ako človek bez maturity z matematiky chcela doplniť vzdelanie, kde by som mala začať, aby ma to neodradilo hneď na začiatku?

Ideálne by bolo mať sériu úloh, ktoré sú z reálneho života a sú nasmerované na to, aby človek pomocou nich na niečo prišiel. V tomto smere mi napadla práve Hejného metóda, ale upozorňujem, že jedna z jej zložiek je kolektívnosť. Ráta s tým, že vo väčšom kolektíve prichádza k dôležitým interakciám. Takže človek, ktorý si sám zoberie domov knižku z úloh Hejného metódy, môže doplatiť na to, že je sám.

Takže sa viac oplatí Zmaturuj z matematiky?

Štandardné diela na samoučenie sa matematiky kopírujú obsah školskej matematiky: na začiatku je teória – nie vždy dostatočne vysvetlená – a nasleduje použitie v úlohách. To nie je úplne ideálne nasmerovanie, ak sa chcete naučiť matematicky rozmýšľať. Existujú aj rôzne historické knižky o matematike, zábavná matematika a podobne, ale neviem sa zaručiť, že vás naučia matematicky myslieť. Takže je to vlastne zaujímavá výzva: porozmýšľať nad tým, ako by mala vyzerať kniha alebo učebnica pre človeka, ktorý je dlhšie po škole a chce sa k matematike vrátiť.

Čo vám v matematike robí najväčšiu radosť?

Keď sa mi podarí niečo vysvetliť tak, že vidím, že to druhá strana pochopila.