Nie je medzera ako medzera

Dnes vám predstavím celkom zložitú vec. Topologické izolátory. Ide o materiály od ktorých si toho veľa sľubujú výrobcovia čipov aj vedci a inžinieri, ktorí vyvíjajú kvantové počítače.  Z diaľky môžu topologické izolátory vyzerať ako nejaká materiálová nuda, ale z blízka je to už iná šálka čaju. Na ich pochopenie bolo nutné skĺbiť kvantovú mechaniku s matematickou teóriou menom topológia. Nebolo to práve jednoduché, ale podarilo sa a dnes už topologickým izolátorom v princípe rozumieme [1].

Topologické izolátory klamú telom. Nemali by viesť elektrický prúd. Mali by byť elektrickými izolátormi. Preto aj to meno. Ale nie sú. Presnejšie, sú izolátormi vo svojom vnútri, ale navonok, teda po svojom povrchu [2], vedú elektrický prúd v podstate bez strát. A to je väčšia vec, ako by sa mohlo zdať. Topologické izolátory nám napríklad pomôžu vyrábať efektívnejšie čipy. Také čo sa nebudú zahrievať, znesú vyššie frekvencie a budú preto podstatne rýchlejšie. Ale ani zďaleka to nie je len o technike. Na to aby sme ich pochopili, sme sa museli najprv naučiť niečo dôležité o svete ako takom.

Aby ste mali šancu tieto čudá doceniť, potrebujem vám postupne predstaviť pár myšlienok. Pre mňa je každá sama o sebe zaujímavá a dúfam že budú aj pre vás, pretože topologickým izolátorom budeme rozumieť, až keď tie myšlienky na konci pospájame. Keďže je to všetko v detailoch komplikované, budem do nepríčetna zjednodušovať, používať analógie a dokonca aj audiovizuálne pedagogické pomôcky (nahral som sa na telefón).

Topológia

Musím začať s topológiou. Nedá sa inak, lebo práve ona spustila malú revolúciu, ktorá nám rúca staré poriadky vo fyzike. Už som sa tu aj tu rozpísal o tom, aké dôležité sú symetrie a aká je to dráma, keď svet či materiál nejakú symetriu stratí. Rozdiel medzi tuhou fázou vody, teda ľadom, a jej kvapalnou fázou je práve v tom, že majú iné symetrie. Symetrie a ich lámanie je jednoducho úžasný, všadeprítomný, neskutočne silný koncept a ťažko si bolo ľuďom predstaviť nejakú dramatickú zmenu, na ktorú by sa nedal našiť. Akurát že príroda má viac fantázie ako ľudia a ona si také veci predstaviť vie.

Existuje časť matematiky, ktorá sa volá topológia a skúma ako sa menia geometrické objekty, keď ich opatrne deformujete. Môj odbor fyziky  ju dlho ignoroval, lebo “Čo má toto s našima šutrama?”. Dnes vieme, že odpoveď znie “Strašne veľa!”. Jednoducho stále platí staré dobré pravidlo, že ak vo vede vyhodíte matematiku dverami, vráti sa oknom, zbúra vám dom.  Mnohým moderným materiálom by sme bez topológie vôbec nerozumeli.

Minule som spomínal, že vo fyzike voláme symetriou v podstate čokoľvek, čo môžeme spáchať so systémom, telesom či materiálom a ten aj tak ostane ako predtým. Napríklad ak máme nejakú dokonalú jednofarebná guľu, môžeme ju otáčať koľko len chceme a stále bude vyzerať rovnako. A to je rotačná symetria. Tá časť topológie, ktorú dnes budeme potrebovať, je vlastne podobná vec. Akurát namiesto otáčania, budeme tú guľu deformovať.

Povedzme, že tá naša pomyselná guľa je z hrnčiarskej hliny, plastelíny, alebo pre nás starších moduritu. Guľa je nuda! Niečo z nej vymodelujte! Je jedno čo, ale musíte to robiť jemne. Môžete ju stláčať, hladiť, naťahovať, krútiť aj motať. Ale nesmiete nič trhať, lepiť, či inak spájať a hlavne nesmiete robiť skrz tú hmotu diery. Čokoľvek čo takto vymodelujete, či už to bude valček, tanier, alebo busta Gottfrieda Wilhelma Leibniza, je pre topológa stále len a len nudná guľa. Presnejšie, bude to guli topologicky ekvivalentné.

Ale napríklad taký hrnček s uškom by už nebol. Ten je topologicky ekvivalentný torusu, teda tvaru plávajúceho kolesa. Rozdiel je samozrejme v tej diere v strede. Podľa hore uvedených pravidiel, sa pri deformovaní počet dier nemôže zmeniť. Ak bola jedna, ostane jedna. Ak ich bolo sedem, bude ich sedem.

Ešte jeden príklad, ktorý sa nám neskôr zíde. Namiesto gule si teraz vystrihnite z papiera dlhý pásik. Vezmite jeho konce a zlepte ich tak aby vznikol veľký prsteň. Rovnako dobre poslúži opasok, ktorý jednoducho zapnete. Čokoľvek budete teraz stým opaskom robiť, a môžete ho hoc aj zauzliť, ak ho nepoškodíte a nerozpojíte, topologicky to bude stále len a len prsteň. Dobre, tak ho zase pekne rozuzľujte, lebo vám chcem ukázať jednu topologickú vlastnosť.

Povedzme, že na tom opasku či prsteni, žije mravec Augustus, ktorý nevie prekročiť hranu prsteňa, lebo je príliš ostrá. Ak žije na vonkajšej strane, nikdy sa nedostane na tú vnútornú a naopak. Gusto na svojich potulkách časom zistí, že ak sa poberie jedným smerom paralelne s hranami, obíde svet práve raz a dostane sa presne tam kde začal. Počkajte kým Gusto zaspí a vystreľte si z neho. Rozpojte pásik tam, kde ste ho zlepili, otočte jeden koniec o 180° a znova ho zlepte. Tak ako to je tomto obrázku. Volá sa to Möbiova páska a Gustovi pripraví parádne prekvapenie. Keď sa po zobudení zase raz poberie jedným smerom, zistí, že sa časom dostal na miesta, kde nikdy nebol. Skúste si to prstom. Ak začnete na spoji, tak keď prejdete dĺžku pásky práve raz, budete na jej opačnej strane! Musíte prejsť ešte raz toľko aby ste sa dostali tam, kde ste začali. Möbiova páska má len jeden povrch. Augustov svet sa zdvojnásobil! Keď sa teraz poberie stredom pásky a prejde rovnakú vzdialenosť ako predtým stačila na vrátenie sa tam kde bol, bude tam kde bol, akurát že dole hlavou a na opačnej strane sveta. Ak máte trochu času a chuť vidieť trochu tej möbiovskej krásy, tak si pozrite toto video.

Möbiova páska nie je topologicky ekvivalentná prstencu. Nedá sa zneho vyrobiť bez toho, aby sme ho roztrhli. Möbiovu pásku sa vám už isto podarilo vyrobiť nedopatrením, keď ste dávali v polomrákotách opasok do nohavíc. Založíte opasok a zapnete ho. Ale niečo nepasuje, a tak nahmatáte, kde je otočený. Ak sa vám podarí opasok napraviť bez toho aby ste ho museli rozpojiť, je to prstenec. Ak ho rozpojiť musíte, tak ste si na prvý pokus navliekli Möbiovu pásku, alebo ešte nejakú väčšiu exotiku.

Malá poznámka. Keď sme vyrobili z prstenca Möbiovu pásku, nezmenili sme žiaden fyzikálny zákon a aj tak sme Gustovi úplne zmenili svet. To preto, že sme zmenili jeho geometriu. Geometria je dôležitá. Topológia je dôležitá. Ale dnes nám stačiť nebude. Potrebujeme predsa len aj niečo z fyziky.

Tečie? Netečie?

Niektoré materiály sú dobrými vodičmi elektrického prúdu; napríklad taký hliník, meď, a ďalšie jednoduché kovy a cez iné to netečie a netečie. Ale prečo?

Pripomeňme si najprv pár vecí zo základnej školy. Nejde pri tom ani tak o to doučiť sa čo sme zabudli, na to budem príliš zjednodušovať, ale o to si nastaviť spoločný jazyk. Nech si rozumieme.

Čo to teda vôbec je ten elektrický prúd? Prúd vody je množstvo vody, ktorá pretečie cez nejaký prierez povedzme za jednu sekundu. Inak povedané počet molekúl vody, ktorý cez ten prierez pretieklo v jednom smere mínus v druhom smere ak boli aj také. Elektrický prúd je presne to isté. Akurát počítame len elektricky nabité častice. Teda také čo majú elektrický náboj. V materiáloch o ktorých bude reč, ide spravidla o elektróny. Kde sa vzali?

Povedzme, že sa náš materiál skladá z tak trochu hračkárskych atómov z prvého riadku hentu.

Skutočné atómy takto nevyzerajú, a ani materiály, ale na dnes by nám takáto ilustrácia mala stačiť. Ten červený kruh v strede môžete chápať ako atómové jadro plus nejaké tie elektróny, ktoré sú blízko jadra a nebudeme potrebovať. Sústredíme sa na tie horné.

Elektróny sa nemôžu okolo jadra ponevierať len tak hoc kde. Žijú len na konkrétnych orbitáloch a teda na konkrétnych energetických hladinách. Tak káže kvantová mechanika. Na to aby sa elektrón dostal na vyššiu hladinu, napríklad tú neobsadenú oranžovú, potrebuje nejako dostať energiu, ktorá ho tam vykopne. Je to ako mať poschodovú posteľ. Môže mať viac ako dve poschodia, ale nedá sa len tak spať medzi poschodiami. Tak nejako som to prekreslil na obrázku vpravo. Namiesto kružníc sú tam lôžka a spodné červené nekreslím, lebo nás nezaujímajú. Všetky elektróny preferujú spať na čo najspodnejšom poschodí, ale ani za nič sa o lôžko (orbitál) nepodelia s iným elektrónom, jedine že má opačný spin.

Spin je vlastné kvantové číslo elektrónu a tu by som mal s vysvetľovaním skončiť, lebo nemá klasickú analógiu. Takže vám poviem na čo sa teda ale vôbec nepodobá. Elektrón vôbec ale vôbec nie je guľôčka a nemali by ste si ho takto predstavovať, lebo vám ujde jeho vlnová podstata! Ďalej si pamätajte, že spin by ste si v žiadnom, ale žiadnom prípade nemali predstavovať ako rotáciu (spin) tej guľôčky okolo svojej osi, teda niečo ako rotáciu planétky, alebo kolkovej gule. Preto absolútne nie je pravda, že elektrón má spin hore, keď rotuje proti smere hodinových ručičiek a spin dole keď rotuje opačne! Teraz, keď už viete ako si ho nepredstavovať, stačí keď poviem, že jeho priemety značíme ako šípku hore alebo dole, lebo tých priemetov má presne dva.

Elektróny sú teda čistí monogamní heteráči. Ani za nič neznesú na posteli viac ako jeden ďalší elektrón a aj ten musí mať opačný spin. Je pritom úplne jedno, aká široká tá posteľ je. Teraz si predstavte, že máte plnú miestnosť rovnakých poschodových postelí. Každá reprezentuje atóm v materiáli a jeho orbitály na ktorých ležia spárované elektróny. Kým sú postele ďaleko od seba  (prvý riadok na obrázku) tak pohoda, klídek a tabáček. Akurát to znamená aj to, že žiaden elektrický prúd nepotečie, lebo elektróny sú stále len pri svojom atóme. Nemajú sa ako pohnúť inde, teda (efektívne) tiecť materiálom od atómu k atómu. Okrem toho, čo už len takéto atómy udrží pokope, keď sú od seba tak ďaleko, že si ani nevedia vymeniť elektrón.

Väčšinou sú bližšie. A to je už ako priraziť jednu postel k druhej (druhý a tretí riadok na obrázku). Takto pospájané postele, by už mohli z pohľadu elektrónov vyzerať ako celkom pekná diaľnica, nie? Lenže je tam jeden problém. Totiž, každé poschodie sa dá teraz chápať ako jedna širočízna posteľ, také intrákové letisko. Elektrón sa bude pregrciavať po celej šírke tejto veľkej postele a jednoducho neznesie, aby tam bol ešte jeden taký rovnako netolerantný odkundes ako on. Preto, ak by sme postele nechali ako sú, tak hoc sú aj široké na celú miestnosť (materiál), bolo by tam dosť miesta len pre pár elektrónov.

Príroda si to vyriešila po svojom. Ak spojíte dva postele, nevznikne jedno široké spodné lôžko, ale dva široké tesne nad sebou. Ako keby ste jedno rozšírili a posunuli trochu vyššie a druhé nižšie. Ak spojíte viac postelí, tak príroda všetky trochu posunie aby mala každá dvojica elektrónov svoj “orbitál”. Lenže v kúsku materiálu je atómov veľa. Nepredstaviteľne veľa. Hladiny sú síce poposúvané, ale tak nahusto nad sebou, že už nemá zmysel hovoriť o jednotlivých energetických hladinách (posteliach) či orbitáloch. Namiesto toho hovoríme o pásoch. V rámci takéhoto pásu je pre elektrón jednoduché dostať sa na vyššiu hladinu, ak pravda nie je obsadená iným elektrónom s rovnakým spinom. To preto, že medzi nimi takmer nie je rozdiel v energiách. Spomeňte si ešte, že naše postele mali aj to horné, elektrónmi neobsadené poschodie. To sa tiež znásobí. Obe lôžka sa nám roztiahli do pásov (pravý stĺpec na obrázku) a môžu v podstate nastať tri situácie, ktoré odrážajú to o akých atómoch sa bavíme a ako sú uložené v materiáli.

Prvá je, že medzi pásmi je široká medzera. Spodný je plne obsadený elektrónmi, pre ktoré je veľmi ťažké dostať sa na nejakú vyššiu neobsadenú posteľ, lebo by si to vyžadovalo priveľa energie. Taká posteľ je totiž až v tom hornom páse. Preto sa to jednoducho nedeje.

V druhej sú blízko. Je medzi nimi maličká medzera. Stále nie je jednoduché sa dostať zo spodného obsadeného do horného neobsadeného pásu. Inak povedané, je to nepravdepodobné. Ale tých elektrónov je tak absurdne veľa, že stačí aby sa to podarilo trebárs jednému z miliardy a bude ich v tom hornom páse celkom aj dosť. Na takú migráciu stačí materiál trošku zahriať, tak sa totiž dá elektrónom dodať energia.

Tretia možnosť je, že sú spolu, teda že sa pásy prekryjú. Lenže potom už nemá zmysel hovoriť o dvoch pásoch. Je len jeden, akurát nie je plne obsadený a dostať sa na vyššiu posteľ je hračka, lebo je hneď nad poslednou obsadenou. Ak vám teraz napadlo, že vlastne presne to isté by nastalo, keby že na každom z tých spodných lôžok bol na začiatku len jeden elektrón a nie dva, tak klobúk dole. Máte pravdu. Tiež by sme mali jeden len čiastočne obsadený pás a čo sa stane s tým horným by nás vlastne ani nemuselo zaujímať.

A teraz tá finta. Ten prvý prípad popisuje nevodič, teda elektrický izolátor. Ten druhý je polovodič a tretí je vodič, alebo kov ak chcete.

Prečo?

Keď pripojíte k materiálu jednosmerné (alebo striedavé) napätie, to je ako keby ste trochu naklonili (alebo trochu rozkolísali)  tie dlhočízne postele a dúfali že sa začnú elektróny, ktoré nie sú modré guľôčky, kotúľať. Tak si teraz rozoberme naše tri prípady na analógii s vodou vo fľašiach.

Povedzme, že je pás, v našom prípade fľaša, zaplnený len z polovice. Pozrite aké ľahké je elektróny (vodu) usmerniť naklonením. Fakt stačí málo a tečie to jedna radosť. Takto sa správajú kovy.  Na prúd vám stačí aj malé napätie.

Na druhom gifku sa snažím rozkolísať nevodič. A viete čo? Ani veľmi nič. V hornom páse sa nič nedeje, lebo je úplne prázdny. V tom dolnom sa nič nedeje, lebo je úplne plný.

Alebo inak, koľko áut prejde popod mýtnu bránu za sekundu, ak je diaľnica úplne prázdna (horný pás nevodiča), alebo totálne zaprataná (dolný pás nevodiča)? Žiadne. Lebo tam buď žiadne auto nie je, alebo je tam taká zápcha, že sa autá nepohnú. Tak je to aj s vodou vo fľaši a aj s elektrónmi ak je spodný pás plný a do horného sa nedá dostať. A máme izolátor.

Dobre, a čo ak by bola diaľnica inak plná, ale niekoľkým autám sa podarilo dostať na blízku súbežnú okresku? Nie je to ideálne, ale nejako to predsa len tečie. A tak to vyzerá aj s našou vodou, keď malú časť vody (elektrónov) presunieme z dolného pásu do horného. Hore sa nám bude presúvať voda (elektróny) a dole bublinky (kladné diery). A máme polovodiče.

Mimochodom, pri nízkych teplotách sa elektróny nedostanú do horného pásu, ani keď je medzera malá. A tak na polovodiče nateraz zabudneme a budeme volať izolátorom čokoľvek čo má medzeru.

A čo topologické izolátory? Tie majú veľkú medzeru medzi pásmi. Z pohľadu pásovej teórie sú to preto nevodiče ako vyšité. A aj tak oplani vedú prúd.
Lenže nie svojím vnútrom. Na to sú príliš introvertní.
Prúd tečie iba po ich povrchu. Zato ale tečie perfektne. Prečo? Lebo topológia!

Akurát že to, čo budeme teraz deformovať a pozerať, kedy je to ešte čomu ekvivalentné, nie je samotný materiál, ale práve tá energetická medzera medzi pásmi.

Ono totiž nie je medzera ako medzera.

Všetko naruby

Aby ste rozumeli čo myslím tým, že nie je medzera ako medzera, potrebujem vám predstaviť recipročný priestor. Možno by to šlo aj bez neho, ale musel by som podvádzať ešte viac, ako mi je už teraz milé.

Vo vede, technike, medicíne, hudbe a čo ja viem kde ešte, často používame niečo čo sa volá Fourierova transformácia. Väčšinou sa používa na to, aby sme zistili z akých frekvencií sa skladá signál. Alebo inak, prevádzame ňou signál zaznamenaný v čase (časová doména) na signál zapísaný vo frekvenciách (frekvenčná doména). Dá sa povedať, že zisťujeme, ako často sa niečo opakuje a koľko toho je. Pozrite tu. Fajn na Fourierovej transformácii je, že ak sa signál neustále opakuje, napríklad ako siréna, tak hoc by tá siréna revala hodiny a hodiny, po transformácii sa zapíše ako pár bodiek na tých správnych frekvenciách.

Podobná vec sa dá urobiť aj s priestorom. Stačí sa pozerať na to, ako sa veci opakujú s rastúcou vzdialenosťou. Trebárs podvaly (pražce) pod koľajnicami. Netreba kresliť podvaly na papier dlhý od Sakčína po Záhorskú vec. Stačí napísať, jeden podval každých 60cm. V bežných materiáloch sa atómy opakujú celkom presne. Oveľa presnejšie ako podvaly. A s nimi sa opakuje aj profil našich pásov, ktorý nemusí byť tak nudný ako na obrázku. Keď pásy transformujeme, už nebudeme mať na osi x vzdialenosť, ale takzvané k-čka, ktoré hrajú úlohu frekvencií pre priestor. Detaily sú trochu technické a dôležité. Preto nimi mučíme študentov. Ale vás od nich oprostím. Prezradím iba toľko, že k je vlnový vektor a zároveň je to niečo, čo nám čísluje hladiny v pásoch a istým spôsobom (nie priamočiaro) ukazuje, ktorým smerom a ako rýchlo sa pohybujú elektróny zapísané ako vlny. Lebo viete, kvantová mechanika. Toto všetko vám tu nepredkladám v takej strašnej hmle preto, aby som vás zmiatol. Robím to, aby som vám mohol povedať, že vďaka k-čkam sa dajú celé tie dlhé široké a bystrozraké pásy, ktoré idú od nevidím do nevidím, nakresliť ako dve (alebo veľa) krátkych čiar.

Na obrázku je jednoduchý príklad. Každý bod na vynesených krivkách reprezentuje jednu hladinu. Dolná krivka je obsadený pás a tá horná neobsadený.

Tie čiary vymedzujú našu medzeru. Preto ak sa spoja čo i len v jednom bode, tak medzeru nemáme a bavíme sa o vodiči. Ak nie, tak máme nevodič. Všimnite si, že tie čiary začínajú v -π/v a končia v π/v. To v je len pre nás nezaujímavá konštanta, ktorá hovorí o tom, ako ďaleko sú od seba opakujúce sa bunky atómov (pražce). Zaujímavejšie sú tie π-čka. Od mínus π po π máme 2π a to je vlastne 360° zapísaných v radiánoch. Teda kruh. Prečo takto? Lebo tie krivky so opakujú každých 2π, čo je to isté ako povedať, že sa točia v kruhu [3].

Tak a teraz konečne zlepíme fyziku s topológiou.

Čo to má s topológiou?

Máte ešte ten papierový prsteň, čo na nich žil Augustus? Ak áno tak ho rozstrihnite a tie čiary, reprezentujúce pásy, nakreslite naň. Tak pekne on jedného konca po druhý. Potom ich môžete znovu zlepiť a nič nepokazíte. Čiary budú nadväzovať samé na seba a točiť sa v kruhu.

Lenže je tu jedna vec, ktorú sme si dlho nevšimli. U väčšiny materiálov sa dajú tie čiary v k priestore, naozaj nakresliť na niečo ako analógiu prstenca. Akurát musíme ísť vyššie s dimenziou a to sa ťažko predstavuje, preto ostaneme pri prstenci. Takým materiálom hovoríme, že sú topologicky jednoduché. A potom sú tu materiály, ktorých medzera vymedzená čiarami v k-priestore sa na prstenec nakresliť nedá,
lebo žije skôr na niečom ako Möbiova páska. Dobré nie?

Teraz si, napriek dĺžke textu, dovolím krátku fyzikálnu odbočku, lebo čo vám chcem povedať je pekné.

Odbočka
Ako sa dá nevšimnúť si takúto parádnu vec?

V kvantovej mechanike sa často bavíme o dvoch hlavných veciach. Prvou sú hodnoty nejakej veličiny, ktoré systém nadobúda. Napríklad hodnota energie alebo priemet spinu. Teda niečo, čo sa dá merať. Tou druhou vecou sú vlastné vlnové funkcie systému. Vlnové funkcie vlastne nesú merané hodnoty. Vlnová funkcia nemá sama o sebe fyzikálnu interpretáciu. Ale ak z nej urobíte kvadrát (presnejšie ak ju vynásobíte jej komplexne združenou hodnotou a nanormujete ju), dostanete pravdepodobnosť s akou nameriate hodnotu, ktorú nesie. Lenže pritom kvadrátovaní niečo stratíte.

Povedzme, že tá vlnová funkcia je Ψ(x) a je to reálna funkcia. Jej kvadrát je teda Ψ(x)Ψ(x). Ale ak by sme mali -Ψ(x) tak jej kvadrát by bol (-1)(-1)Ψ(x)Ψ(x) teda tiež Ψ(x)Ψ(x). To znamená, že po kvadráte sme stratili informáciu o znamienku pôvodnej funkcie. Ak vidíme len výsledok, tak nevieme, či bolo znamienko kladné, alebo záporné.  Ak by sme sa bavili o komplexných funkciách, a to by sme teda mali, povedal by som, že sme stratili informáciu o takzvanej fáze. Fáza je o dosť viac, ako len znamienko. Má zložky a jedna z nich, čuduj sa svete, má čosi do činenia s geometriou.

Ale prečo sa tým trápiť? Veď sa to aj tak nedá merať, nie? Ukázalo sa, že to nie je tak celkom pravda. Niektoré materiály, a vlastne prírodu ako takú, tá fáza predsa len zaujíma.

Ukážem vám také pripodobnenie. Je to trik, ktorý ma naučil oco ešte ako malého chlapca. Asi dúfal, že tým raz budem ohurovať dievčatá. Neohuroval som, čo bola chyba, ale to je o inom. Pozrite gifko. Mám na ňom v ruke HRNČEK s ČAJOM. Poloha hrnčeka a hlavne jeho uška nech je hodnota, ktorú sledujeme – meriame. Teda tá vec na ktorú sa vo fyzike väčšinou dívame, napríklad šírka našej medzery v k priestore. Ruka je vlnová funkcia. Teda tá vec, ktorá ten hrnček nesie a väčšinou ju nevidíme. Vieme o nej niečo meraním zistiť, ale tá informácia je neúplná.

Teraz budem tým hrnčekom otáčať. Najprv len tak jednoducho. Otočím ho o 360° a bude tam kde bol. To je prípad jednoduchých izolátorov. Uško niečo nakreslilo na prstenec, ale po 360° je všetko tam kde bolo. Je to topologicky jednoduchý prípad. Ale čo ak je tá vlnová funkcie iná? Čo ak pevne drží hrnček? Viem ním nakresliť to isté bez toho aby som sa otočil celý? Viem. Pozrite ako. Sledujte čo robím s rukou. Otočím hrnček okolo jeho osi o 360°. Uško je zorientovaný rovnako ako na začiatku. Ak sa dívame len na neho, sme spokojní a ideme domov. Lenže ruka-vlnová funkcia nie je. Je pokrútená, mám ju až niekde pri ksichte. Čo teraz? Musím sa vrátiť? Urvať si ruku od tela? Vyliať ČAJ? Ani za nič! Toto je ako keď mravec Gusto obišiel raz Möbiovu páska a zrazu bol na tom istom mieste len z inej strany. Stačí pokračovať. Otočím hrnček o ďalších 360° a nielen že je znova tam, kde začal, ale aj ruka je tam, kde začala. Celé to teda treba obehnúť dvakrát. My si po obehnutí prvých 360° nemusíme všimnúť, že toto ešte nie je ono, lebo sa dívame len na hrnček a uško. O ruke nemáme dosť informácií. Lenže tá ruka si to všimne. Aj príroda, ktorej tá ruka patrí, si to všimne.

Spin elektrónu je presne takýto. Otočte ho o 360° a vyzerá rovnako, ale nie tak celkom. Jeho vlnová funkcia má nesprávne znamienko. Musíte ho otočiť o 720° aby sa vrátil tam kde bol. Aj to je topologická vlastnosť. Niektoré izolátory sa chovajú rovnako. Tie čiary v k-priestore sa javia po 360°, že sú tam kde začali. Ale topológia kričí že nie, že to treba celé obehnúť ešte raz. Svet tých čiar má inú geometriu!

Fascinujúce.

Ale zase na druhej strane, či už je ten svet niečo ako prstenec alebo Möbiova páska, ak sa tie hladiny neprekrížia, tak majú medzeru a celé je to tak či tak izolátor. Preto to celé vlastne vyzerá dosť rovnako. Tak prečo toľko kriku?

Lebo naozaj zaujímavé to začne byť, keď sa stretnú materiály s rozdielnou topológiou.

Pointa na rozhraní

Vravím že materiály, ale ono to nie je o materiáloch. Už som tu pár krát omieľal čo to znamená, že je niečo topologicky ekvivalentné. Ak máte topologicky jednoduchý izolátor, teda taký s pásmi na prstenci, tak ten je topologicky ekvivalentný s každým jednoduchým izolátorom. Keďže izolátor je hlavne o medzere, bavíme sa predovšetkým o nej.

Topologicky ekvivalentný tu znamená, že môžete medzeru hladko deformovať. Môžete ju naťahovať, zmenšovať aj vlniť. Ak tie čiary čo ju vymedzujú nespojíte, bude to topologicky stále to isté. Ako keď mačkáte guľu.

Topologicky jednoduchým izolátorom je aj vákuum. Teda prázdny priestor. Lebo aj ten má energetickú medzeru. Je veľká, ale je a je jednoduchá. Ak máte topologický jednoduchý izolátor-materiál a okolo neho nič (suchý vzduch je v tomto prípade dostatočné nič), to nič nič nerobí, lebo obe veci sú topologicky ekvivalentné. A vy si ani nevšimnete, že tam nejaká topológia hraje rolu. To bol dlho aj náš prípad.

Ale povedzme, že máme topologicky zložitý izolátor, teda taký, ktorého k-priestor nie je na niečom ako prstenec. A teraz ho pricapíme na topologicky jednoduchý izolátor. Ten ani nemusí byť kusiskom niečoho pevného, môže to byť pokojne aj suchý vzduch. Čo teraz? Nič, nie? Veď sú to rozdielne veci. Jedno je skoro vákuum a to druhé kus opracovaného šutra. Ani o sebe nevedia.
Tak nejako sme tuším my fyzici premýšľali ešte v osemdesiatych rokoch. Príroda to teda vidí inak.
Rozhovor s ňou mohol vtedy vyzerať aj takto nejako:

Fyzik: “Počuj Matka Príroda, urobil som si doma na kolene takú vec, čo volám dvojrozmerný elektrónový plyn. Ako počítam tak počítam, mal by to byť izolátor, ale ono to má celkom peknú vodivosť. O čo ti ide?”
Matka Príroda: “Tá tvoja hračka má topologicky zložitú medzeru a okolo nej máš vákuum, teda topologicky jednoduchý izolátor. Ja Príroda neviem prejsť z jedného do druhého inak ako tak, že na ich rozhraní tú medzeru zavriem. Musím ju zavrieť, aby som ju mohla otvoriť úplne inak.”
Fyzik: “Topočo? Ako zložitú medzeru? Zavrieť prečo?”
Matka príroda si povzdychla a potom povedala len: “Vieš čo? Choď na pivo čaj s kolegami matematikmi a popros ich, nech ti vysvetlia, na čom robili posledných 200 rokov ľudia ako Leibniz, Riemann, Klein a im podobní.”
Po mesiacoch trápenia sa s rovnicami:
Fyzik: “Cipana Matka Príroda, ale toto ti je veľká vec. Si uvedomuješ, že keď ja teraz namiesim takýto materiál a čapnem ho na hentaký materiál, dostanem ale že po π súčiastku? Ani nič nehovor, aj tak nemám čas. Volám kamarátom chemikom a inžinierom a zatvárame sa na rok do labáku.”

To čo je v tom rozhovore dôležité je, že podľa topologických pravidiel sa nedá prejsť od jednoduchej k zložitej izolátorovej medzere inak, ako tak, že sa na ich rozhraní tá medzera zavrie, aby sa potom mohla otvoriť inak. Tak isto ako sa nedá urobiť z prstenca Möbiova páska bez toho, aby ste ho roztrhli.

Ešte raz a pomalšie. Na rozhraní dvoch topologicky rôznych izolátorov príroda zatvorí medzeru medzi pásmi. Ako voláme veci, ktoré nemajú medzeru medzi pásmi? Áno! Vodiče! Na povrchu materiálu, ktorý je inak celý nevodičom, bude tiecť prúd! Lebo tam medzera nie je.

Načo je to dobré?

Ak by toto bol už celý príbeh, tak by stále stačil na to, aby o ňom fyzici písali tisíce článkov, ktoré by zaujímali možno aj stovky ľudí. Lebo je to parádne. Ale nie je to všetko.

Problémom kovových káblov a polovodičových súčiastok sú nečistoty, rôzne poruchy a zahrievanie sa. Úžasne na povrchu topologických izolátorov je, že prírode je takmer jedno aký je škaredý. Je jej takmer jedno koľko je tam špiny či škrabancov. Ona tú medzeru musí zavrieť všade. Výsledkom je, že aj keď tam toho prúdu nie je veľa, lebo je fakt len na povrchu, tečie vlastne bez strát. To je teda celkom praktická vlastnosť, špeciálne ak potrebujete malú súčiastok. Preto sa nie je dôvod čudovať, že sa na celý tento odbor vrhlo veľmi veľa ľudí z každého elektro-technologického kúta.

Prvé prakticky využiteľné topologické izolátory boli najprv na papieri. Teda ich najprv niekto teoreticky spočítal a až potom niekto iný podľa toho návrhu umiesil a zmeral. Tým chcem povedať, že topológia ako teória naozaj funguje. Funguje na nobelovku dobre.

Takže to vyzerá tak, že topológia by mohla priniesť revolúciu do technológii. To je určite fajn. Ale ono je to aj koncepčne veľká vec, ktorá zase raz zmenila to, ako sa dívame na svet. Topológia už dávno nie je len o topologických izolátoroch. Pomáha nám chápať aj iné oblasti. Napríklad exotické supravodiče, nie menej exotické častice, divné fázové zmeny, hraje dôležitú rolu v teórii strún, či v úvahách prečo je kvantová mechanika kvantovaná, dokonca ju nájdete aj v evolučnej biológii.  Pomaly ale isto sa vkráda do všetkých oblastí fyziky a vedy všeobecne.

Tak to už v živote chodí. Občas zistíte, že niečo, čo ste dlho ignorovali, je neuveriteľne fascinujúce a ešte, jeden by neveril, aj užitočné.

[1] Čím chcem povedať, že rozumieme princípu, nie že vieme vycucať z prsta čokoľvek o akomkoľvek topologickom materiáli.

[2] Ak vám hneď napadol povrchový elektrický jav (skinefekt), tak vám gratulujem k dobrému technickému vzdelaniu, ale toto je o niečom inom. Prúd tečie aj pri jednosmernom napätí naozaj len a len po povrchu materiálu.

[3] Zjednodušujem, veľmi, strašne veľmi. Prstenec sa dá použiť, len keď sa bavíme o jednorozmerných materiáloch. Nebavíme. Potrebujeme aspoň dvojrozmerné. Ale tam sa to už ťažšie predstavuje.