Denník N

1+2+3+4+5+…= -1/12 (?) a fyzika

Predstavím vám metódu, ktorá nám vo vede umožňuje riešiť nekonečne ťažké problémy tak, že ich prevedie na nekonečné množstvo jednoduchých úloh. Táto finta vedie na nekonečné súčty, ako je napríklad 1+2+3+4+5+6+… a takto až do nekonečna. Takýto súčet je zjavne nekonečno. Lenže aj navzdory zdravému sedliackemu rozumu napíšeme namiesto nekonečna, že výsledok je napríklad -1/12. Ukážem vám, ako to robíme, prečo to robíme a hlavne ako si vieme tento do očí bijúci nezmysel vo fyzike obhájiť. Popritom vám prezradím, že sčítavanie je zložitejšie ako si myslíte, že funkcie možno nie sú úplne to, čo si pod nimi predstavujete a že presnosť sa preceňuje. Všetko sa to bude točiť okolo nekonečien. Nekonečná sú nebezpečné. Čítajte opatrne.

Je tomu asi tak dva roky, čo bol internet mojej bubliny plný toho, ako sa 1+2+3+4+5+6+7+… (a takto až do nekonečna) rovná -1/12 a krátko na to zase plný zúfalých matematikov vysvetľujúcich, že sa nerovná. Lenže “krátko na to” je na internete v podstate večnosť, a tak sa stalo, že -1/12 je už súčasťou popkultúry, a teda sa s tým vlastne už nedá nič robiť. Hádam len počkať, kým internet zabudne.

Prečo to teda vyťahujem? Ono to totiž s tou -1/12 síce nie je pravda, ale ani to nie je vyslovene blbosť.

Vo fyzike občas potrebujeme spočítať nekonečne veľa čísel. Pritom sa nie zriedka stane, že ten súčet nie je slušný. Nie je to konečné alebo jednoznačné číslo. Napriek tomu, sa často neostýchame napísať, že súčet je hoc aj tých -1/12 ak treba. Príkladov, kde sa niečo také môže stať, vôbec nie je málo. Dnes vám predstavím iba jeden z nich, ale bude všeobecný. Nebude to totiž jedna úloha alebo jav, ale metóda ktorá sa používa úplne všade vo fyzike. Volá sa poruchový počet.

Popritom ako vám prezradím, čo to ten poruchový počet je, sa budeme baviť o mnohých iných zaujímavých veciach. Ukážeme si, ako môže viesť riešenie niektorých úloh na divergentné rady a čo to tie divergentné rady vlastne sú. V podstate len poviem, že ich súčet nie je rozumné číslo a hneď na to vám ukážem, ako sa dá takýmto radom aj tak rozumné číslo prideliť. Pobavíme sa aj o tom, že nie všetko v živote treba vedieť presne a dokonca porazíme zlého robota. Ako bonus ešte nabonzujem vašich matikárov, že vám klamali o tom, ako sa sčítavajú čísla. Všetko sa to bude točiť okolo nekonečien a bude to preto aj nekonečne dlhé.

Síce len približne, ale vlastne tak akurát

Keď robíte vedu, rýchlo zabudnete na také to počítanie ako v škole, kde má skoro všetko presný výsledok, a ten sa dá ešte aj dohľadať na konci učebnice. Väčšina reálnych problémov je príliš zložitá na to, aby sa dali vyriešiť presne. Ale ako často potrebujete vedieť niečo naozaj presne?

Povedzme, že máte recept od starej mamy, kde je okrem iných vecí napísané niečo ako …treba ci das pol kila muky… Lenže vy viete, že z toho sa naje sedem ľudí a vy zjete len za troch. Ako presne potrebujete vedieť, koľko múky treba vám? Potrebujete vedieť, že 214.285714285714… gramov? Nestačí si povedať tak ako stará mama že: asi tak (das) 200 gramov? A vôbec, čo je vám platné, že viete tú múku spočítať s presnosťou na tucet desatinných miest, keď vaša kuchynská váha meria len s presnosťou na 0.1 gramu?

Samozrejme, ak viete niečo vyrátať presne, pokojne to spravte. Ale ak nie, nehádžte recept do koša. Často to totiž pôjde spočítať približne. Toho slova “približne” sa vôbec netreba báť. Váš výpočet môže byť stále presnejší, ako ľubovoľné meranie. Teraz sa nebavíme len o múke a kuchynskej váhe, ale trebárs aj o detektore častíc niekde v CERNe.

Poruchový počet je jedna z metód, ktoré umožňujú približne počítať veci, ktoré nevieme spočítať presne. Skvelé na nej je to, že riešenie sa dá krok po kroku zlepšovať. Občas, ak máme šťastie, nám poruchový počet dovolí okľukou spočítať náš problém úplne presne. Robí sa to takou fintou, že namiesto nekonečne ťažkého problému, riešime (v princípe) nekonečne veľa jednoduchých úloh. A to je presne to miesto, kde sa nám berú nekonečné rady.

Proti zlému robotovi

Skúsme si jeden príklad, ktorý je jednoduchý, ale my sa budeme tváriť, že je ťažký. Ide o hru v ktorej musíte v niekoľkých kolách poraziť zlého robota.

Na stene je silomer s digitálnym displejom s presnosťou na dve desatinné miesta. Silomer meria silu v oboch smeroch, hore a dole. Je na ňom zavesené guľa, ktorá váži približne 0,2 kg, a silomer preto ukazuje hodnotu 2,00 newtony. Ak chcete vyhrať, musíte na displeji dostať nulu. Zlý robot vám v tom bude brániť. Robot je naprogramovaný tak, že zistí akou silou pôsobíte a potom bude tlačiť alebo ťahať guľu k-násobkom vašej sily, ale opačným smerom. V preklade, ak je k napríklad 0,5, tak robot použije polovicu vašej sily a ak = 2,0 tak dvojnásobok a pôjde ňou proti vám.

Ak by ste nepremýšľali a šli rovno na vec, tak by pre k=0,5 mohla hra vyzerať aj takto nejako: Vidíte, že na displeji svieti 2,00 a tak zatlačíte smerom hore silou S=2,00 newtonov aby tam bola nula. Lenže robot zistí vašu silu, prenásobí si ju: k S = 0,5×2,00 [N] = 1,00 [N] a potiahne guľu dole silou 1 newton. Koľko je teraz na displeji? Smerom dole pôsobí sila 2,00  [N] (guľa) + 1,00  [N] (robot) = 3,00 [N] a hore vy silou 2,00 [N]. To máme 3,00 [N] –  2,00 [N] = 1,00 [N]. Keďže vidíte, že je na displeji jednotka, zvýšite svoju silu o 1,00 [N] na 3,00 [N]. Na zlomok sekundy tam bude nula, ale potom si robot všimne, že pôsobíte novou silou 3,00 [N], prenásobí si to k-čkom a potiahne guľu dole novou silou 1,50 [N]. Na displeji bude 2,00  [N] (guľa) + 1,50  [N] (robot) – 3,00 [N] (vy) = 0,50 [N] (displej). A keďže je tam 0,50, tak pridáte k svojej sile 0,50 [N]. Lenže robot zase zareaguje a na displeji bude namiesto 0,00 tentokrát 0,25 [N] …   Už asi vidíte, že toto by mohlo trvať pekne dlho. Ak by ste boli filozof Zénón z Eley, vyhlásili by ste, že toto sa nikdy nepodarí a preto sila neexistuje a niečo ako robot nemá v starovekom Grécku čo hľadať. Ale nie ste. Vy viete, že toto je len jednoduchá slovná úloha. Navyše vám s ňou pomôžem. Nie z dobrého srdca, ale preto aby ste ju nevyriešili príliš jednoducho a nepokazili mi plány. Tak poďme na to krok po kroku.

Akou silou S musíte pôsobiť na guľu, aby silomer ukazoval 0,00? Bez robota (keď  k=0) by to bolo jednoduché. Napíšeme si rovnicu, v ktorej nepedagogicky (nech mi je odpustené) vynechám jednotky:

 2,00 – S = 0,00

Na ľavej strane rovnice je to, čo reálne uvidíme na silomeri. Napríklad, ak sa na tú hru vykašlete, tak bude S rovné nule a na displeji 2,00. Ale to nechcete. Chcete tam vidieť to, čo je v rovnici napravo, teda 0,00. Znamienko mínus pred vraví, že čakáme, že budeme musieť pôsobiť proti gravitácii, teda smerom hore. Riešenie:

S  = 2,00

Dostali sme to, čo nám bolo jasné od začiatku. Musíte použiť 2,00 newtony a tlačiť to hore. Ale teraz sa z hibernácie prebral zlý robot. Akou silou musíte pôsobiť na guľu, aby ste udržali na silomere nulu? Napíšme si rovnicu:

2,00 – S + k S = 0,00

Prvá časť, teda 2,00 – S, je to, čo sme už mali a k×S popisuje pôsobenie robota, ktorý ide proti vám. Toto je tá ukrutne ťažká rovnica, ktorú (akože) nevieme vyriešiť. Je to len ilustrácia situácie, s ktorou sa stretávame vo fyzike často. Vieme ľahko vyriešiť jednoduchú verziu problému, ale plná verzia je už oriešok. Napríklad je jednoduché presne vypočítať dráhu Zeme okolo Slnka, ak berieme do úvahy len Zem a Slnko. Ale čo tak k tomu prihodiť Mesiac? Je jednoduché spočítať, kam doletí po výstrele delová guľa, ak zanedbáme odpor vzduchu, ale na naše šťastie či smolu, vzduch je tu vždy. Nie je ťažké spočítať, čo budú robiť elektróny v jednoduchom materiáli, ak sa vykašleme na to, že sa navzájom odpudzujú. Lenže oni sa odpudzujú. A nie je ťažké nastaviť na silomeri 0,00, ak robotovi skapala baterka, ale toto nie je váš prípad.

Ak ste pred chvíľou zapapuľovali, že riešenie tej rovnice je predsa celkom jasne S=2,00/(1-k) newtonov, tak si zmeňte hore to prvé S na S5 (S5=S × S × S × S × S), nech to máte zaujímavejšie [1]. My ostatní zostaneme pri tej našej rovnici a budeme sa tváriť, že ju nevieme vyriešiť presne. Skúsime ju preto vyriešiť nepresne.

Vtip je v tomto. Ak by mal robot nastavené = 0 (ak by nebolo Mesiaca, vzduchu, elektrónovej nevraživosti), tak riešenie vieme. To sme už dali. To je ľahké. Čo tak sa tváriť, že k je malé, že je to len taká malá porucha? Povedzme, že robot začal hru s k=0,001. Pozrite čo sa stane, keď doplníme za S do ľavej strany rovnice jednoducho len S0=2,00, teda naše riešenie, keď robot ešte spal:

2,00 – S0 + k S0 = 2,00 – 2,00 + 0,001×2,00 = 0,002

Nie je to síce presne 0, ale ten silomer má citlivosť len na dve desatinné miesta. Tie dve tisíciny si nemá ako všimnúť. Na výhru vám preto úplne stačí výsledok, ktorý už máme. Inak povedané, takáto malá porucha, takéto slabé pôsobenie robota (Mesiaca, vzduchu, elektrónovej nevraživosti) sa dá ignorovať. Merací prístroj ho nezachytí. Robota môžete zanedbať. Vôbec netreba nič počítať. Vyhrali ste!

Vyzerá to ako také nič, že? V skutočnosti je to dôležité. Toto je to, ako sa do značnej miery robí celá veda. Snažíme sa zistiť, čo je podstatné a čo nie je. To čo má malý vplyv zanedbáme, aspoň v prvom kroku. Tu nejde len o robota. Už keď sme písali tú rovnicu, zanedbali sme veľa vecí, lebo sú pod citlivosťou meracieho prístroja. Zanedbali sme prúdenie vzduchu, svetlo, elektrický náboj gule a prístroja, magnetizmus, Vysoké Tatry, relativistické efekty…  Plno vecí, ktoré majú nejaký vplyv, ale našim prístrojom sa nedajú namerať. Pochopiť čo je a čo nie je podstatné, je vo vede rovnako dôležité ako v bežnom živote. Robot s k=0.001 nie je dôležitý, aj keby si sám myslel niečo iné.

Dobre, ale v ďalšom kole naladí robot trochu vyššie k-čko, takže už budeme musieť prísť s lepším riešením. Ako veľmi lepším? Čo keby sme len trochu opravili, teda cudzím slovom korigovali, to naše neporušené S0. Čo keby sme si povedali, že budeme hľadať riešenie v takomto tvare:

= S0 + a1 k + a2 k2 + a3 k3 + a4 k4 +…

Kde a1, a2 … sú čísla, ktoré zatiaľ nevieme, ale budeme ich vedieť.

Prečo akurát takýto tvar? Má to dve príčiny.

Prvá je celkom hlboká. Tak trochu čakáme, že ten problém bude mať riešenie, ktoré sa bude dať zapísať ako slušná funkcia k-čka. Slušnou tu volám funkciu, ktorá nie je príliš divoká. Napríklad takú, ktorá sa bude dať zapísať ako kombinácia nejakých elementárnych funkcii, teda mocnín, sínusov, kosínusov, exponenciál a iných strašidiel zo strednej školy. Všetky takéto funkcie majú spoločné to, že sa dajú (lokálne) napísať ako hore uvedený mocninový rad [2]. K mocninovým radom sa ešte vrátime.

Druhá príčina je praktická. Pozrite sa, čo sa deje, keď má robot nastavené malé k. Ak je k=0.1 tak k2=0.1×0.1=0.01 a k3=0.1×0.1×0.1=0.001 a tak ďalej. Zatiaľ síce nevieme, čo sú tie a-čka, ale ak budú rozumné, tak každý ďalší člen v takto vyjadrenom S-ku, by mohol byť aj desať krát menší ako ten predchádzajúci. Inak povedané, každý ďalší člen bude predstavovať malú korekciu k čiastočnému súčtu. Možno nám preto nebude treba všetky členy. Silomer nemeria na bomby presne a pre k=0.001 nám úplne stačil ten nultý člen, teda S0 = 2,00.

Dobre, ale čo tie a-čka? Doplňme ten súčet (rad) do ľavej strany našej rovnice namiesto S a uvidíme:

2,00 – S  + k S =

2,00 – (2,00 + a1 k + a2 k2 + a3 k3 + a4 k4 +)…+ k(2,00 + a1 k + a2 k2 + a3 k3 + a4 k4 +…) =

(2,00 – a1)+ (a1 – a2)k2+(a2 – a3)k3 + (a3 – a4)k4 +…

Toto vyzerá na prvý pohľad oveľa horšie ako pôvodná rovnica, nie? Ale spomeňte si, že my sa tvárime, že tú pôvodnú rovnicu vôbec nevieme riešiť. Že je nekonečne ťažká. Tí čo sa rozhodli trápiť s S5 sa tváriť ani nemusia. A viete čo? Rovnicu

(2,00 – a1)+ (a1 – a2)k2+(a2 – a3)k3 + (a3 – a4)k4 + …= 0,00

vyriešiť vieme.

Hľadáme hodnoty a-čiek, a to nie pre jednu konkrétnu hodnotu k, ale podľa možnosti pre akékoľvek k, aké si robot zmyslí. Nech to nemusíme pre každé k počítať zas a znova. Čo je teda najjednoduchšie riešenie? Kedy sa bude ľavá strana rovnať nule pre akékoľvek k? Vtedy, keď sa každá tá zátvorka bude rovnať nule, lebo potom sa aj súčet bude rovnať nule. Z toho vidíme, že potrebujeme vyriešiť toto:

2,00 – a1 = 0

a1 – a2 = 0

a2 – a3 = 0

a3 – a4 = 0

Pamätáte si, čo robí poruchový počet? Mení nekonečne ťažký problém na nekonečne veľa jednoduchých úloh. Ak by sme chceli presné, alebo aspoň veľmi presné riešenie, musíme vyriešiť veľmi veľa takýchto rovníc. Ale kde je problém? Z prvej rovnice jednoducho vidíme, že a1=2,00. Dosadíme a1 do druhej rovnice a vidíme, že a2=2,00, dosadíme a2 do tretej rovnice a vidíme že a3=2,00 a tak ďalej.

Koľko tých a-čiek potrebujeme? Záleží na tom, aké veľké je k. Povedzme, že má robot nastavené k=0,2. Dosadíme ho do nášho odhadovaného riešenia a budeme postupne, krok po kroku, spresňovať naše približné riešenie. Na ľavej strane síce nedostaneme presne 0, ale už vieme, že to nám ani netreba.

Krok 0: = S0 = 2,00

Dosadíme takéto do ľavej strany rovnice a zistíme, že na silomeri by bolo 0,4

Zjavne to nestačí, tak použijeme aj člen s a1, potom a2 a tak ďalej.  Vľavo budem písať a vpravo to čo by silomer pri takom S nameral:

Krok: S = Displej:
0: S0 = 2,00 0,40
1: S1 = 2,0+2,0 k= 2,40 0,08
2: S2 = 2,0+2,0 k+2,0 k2 = 2,48 0,016
3: S3 = 2,0+2,0 k + 2,0 k2 + 2,0 k3 = 2,496 0.0032

Tu už môžeme skončiť. Číslo, ktoré by silomer mal ukázať, je menšie ako jeho citlivosť. Na jeho displeji bude jednoducho 0,00 (zvýraznené hrubým písmom). Vyhrali ste. Naozaj ten výsledok nepotrebujeme vedieť úplne presne. Tak je to aj inde vo vede. Naše meracie prístroje nie sú presné, ba čo viac, ani len naše rovnice nie sú vždy presné. Nemá preto zmysel si zúfať, že naše riešenia nie sú úplne presné. Dôležitejšie je vedieť, kde tá nepresnosť vznikla, aká je veľká a či ju vieme zmenšiť, ak by to bolo potrebné.

Aj keď ste už toto kolo vyhrali, urobme ešte pár krokov navyše. Zídu sa nám neskôr, keď sa budeme baviť o nekonečných radoch. Napíšem to tentokrát s a-čkami, nech lepšie vidíte, čo sa deje:

Krok: S = Displej:
4: S4 = a1 k + a2 k2 + a3 k3 + a4 k4 = 2,4992 0,00064
5: S5 = a1 k + a2 k2 + a3 k3 + a4 k4 + a5 k5 = 2,49984 0,000128
6: S6 = a1 k + a2 k2 + a3 k3 + a4 k4 + a5 k5+ a6 k6 = 2,499968 0,0000256

Stále sa to spresňuje. Uhádnete z toho ako sa mení číslo v druhom stĺpci, čo je presný výsledok? Áno, je to S = 2,5 newtona. Pri takejto sile, presne vykompenzujete robota aj guľu.

Všimli ste si čo sa práve stalo? Začali sme s problémom, ktorý nevieme vyriešiť. Namiesto presného riešenia sme skúsili poruchový počet. A bisťu, táto približná metóda nám umožnila nájsť riešenie s presnosťou akú potrebujeme. Dokonca sme mali také šťastie, že ho vieme spresniť, ale že až úplne do presna. Celkom nám to ide, tak si ešte skúsme nejaké iné čísla. Povedzme, že k = 0.45 a znením trochu zápis, aby ste si všimli, že S v každom kroku je len S z predchádzajúceho kroku plus nejaká korekcia.

Krok: S = Displej:
0: S0 = 2,00 0,90
1: S1 = S0+2,0 k= 2,90 0,405
2: S2 = S1+2,0 k2 = 3,305 0,18225
3: S3 = S2+2,0 k3 = 3,48725 0,0820125
4: S4 = S3+2,0 k4 = 3,5692625 0,0369
5: S5 = S4+2,0 k5 = 3,606168125 0,0166
6: S6 = S5+2,0 k6 = 3,62277565625 0,007473389
7: S7 = S6+2,0 k7 = 3,6302490453125 0,0033630

A už by hádam aj stačilo, vyhrali ste a zjavne to funguje, sila S sa blíži k presnému riešeniu, ktoré je 3,63636363…  Fajne, ňe? Darí sa nám, tak si ešte skúsme k=2, teda robot bude pôsobiť dvakrát takou veľkou silou ako vy:

Krok: S = Displej:
0: S0 = 2,00 4,00
1: S1 = S0+2,0×2,0= 6,00 8,00
2: S2 = S1+2,0×4,0 = 14,00 16,00
3: S3 = S2+2,0×8,0 = 30,00 32,00
4: S4 = S3+2,0×16,0 = 62,00 64,00
5: S5 = S4+2,0×32,0 = 126,00 128,00
6: S6 = S5+2,0×64,0= 254,00 256,00

Uff, ale to nám nejako nevychádza. S-ko, teda sila akou máte pôsobiť, stále rastie a aj číslo na silomeri stále rastie. Veď keď budeme takto počítať ďalej, tak dostaneme, že vám treba nekonečnú silu a aj tak to bude nanič, lebo na silomeri nebude nula. Čo toto je? Možno to znamená, že keď má robot nastavené k=2, tak sa nedá poraziť.

Neznamená. Riešenie existuje. Chyťte tú guľu a namiesto tlačenia hore, ju potiahnite dole silou 2 newtony. Možno je to neintuitívne, ale pamätajte, že ten hlupák robot bude pôsobiť vždy opačným smerom ako vy. Doplníme do ľavej strany rovnice za S čislo -2,00, mínus, lebo budeme ťahať dole, a dostaneme 2,00 – S + k S= 2,00 – (-2,00) + 2×(-2,00) = 4,00 – 4,00=0,00. Dá sa to. Dá sa vyhrať. Tak prečo nám poruchový počet vybuchol?

Časť odpovede je v jeho mene. Je to poruchový počet. Pod poruchou sa tu myslí malá zmena, maličká porucha, pre ktorú to celé trošku drhne (malý Mesiac, riedky vzduch, elektróny sa až tak neodpudzujú), ale nepokazí sa to. Ak je = 2, tak je tretí člen rovnice príliš veľký. Ak by bol Mesiac väčší ako Zem, tak by bolo lepšie počítať dráhu Mesiaca a nie Zeme. Už by to nebola malá porucha. A to je vidieť aj z prvého stĺpca našej tabuľky. To čo sme volali korekcia k predchádzajúcemu kroku, je pre = 2 stále väčšie číslo. Nie menšie ako sme chceli. Nemali by sme preto používať túto metódu.

Tu by som vlastne mohol aj skončiť a povedať: Nedá sa! Spravte si to inak, šaláti!

Ale čo ak to inak urobiť nevieme? Čo ak máme len ten vybuchnutý poruchový počet? Nedalo by sa to predsa len nejako zaonačiť?

Dalo, ale najprv vám musím povedať čosi málo o tom, že spočítavať nekonečne veľa čísel, môže byť nebezpečné.

S nekonečnami opatrne

Vráťme sa na chvíľu k našej rovnici a vyriešme ju presne:

2 – S+ k S = 0

-S (1-k) = -2

S = 2/(1-k)

 

Toto je riešenie. Existuje vždy s výnimkou jediného bodu a to je= 1. Ak by bolo = 1, tak už v prvom kroku dostaneme na ľavej strane dvojku a tá sa veru (väčšinou) ani vo fyzike nerovná nule. Takže by sme mali spor. Preto je smutnou pravdou, že ak má robot nastavené = 1, tak ho neporazíte. Nič to, hádam mu to nezapne. V každom inom prípade je S = 2/(1-k) riešenie, ktoré hľadáme. Naša hľadaná sila S je funkciou k-čka. Pripomeňme si, že keď sme toto riešenie hľadali poruchovým počtom, čakali sme niečo ako:

= S0 + a1 k + a2 k2 + a3 k3 + a4 k4 +…

Už som spomínal, že ten nekonečný súčet na pravej strane rovnice sa volá nekonečný (mocninový) rad. My sme mali šťastie, že nám vyšlo, že každé a-čko aj S0 je rovné 2 a S sa dá preto napísať ako:

S = 2 (1 + k + k2 + k3 + k4 + k5 + k6 + …)

Ten nekonečný rad v zátvorke je špeciálny a volá sa geometrický. Ale mohli sme natrafiť aj na iný rad, ako napríklad tí nešťastníci, čo ešte stále počítajú rovnicu s S5.

Nepríde vám zaujímavé, že to naozajstné riešenie a to, ktoré sme len tak skúšali, sa na seba ani len nepodobajú a aj tak sa zdá, že pre všetky malé kladné dávajú ten istý výsledok? Naozaj tomu tak je. Akurát, že ak chceme dostať presný výsledok z poruchového počtu, musíme sa naučiť, ako spočítať nekonečný rad.

Začnime s niečím, čo sme si už vyskúšali. Hoc je v tom nekonečnom rade súčet nekonečne veľa kladných čísel, aj tak môže byť výsledok konečný [3]. To sme videli hore, keď sme za k-čko dopĺňali čísla menšie ako 1 a postupne počítali súčty tak, že sme vždy prihodili jeden ďalší člen. Ak sa takéto súčty postupne blížia, cudzím slovom konvergujú, k nejakému rozumnému číslu, tak hovoríme, že rad je konvergentný. Ak nie, tak rad je divergentný. Znie to jednoducho, nie? Hmmm, má to zádrhel.

Povedzme, že máme takýto rad:

1- ½ + ⅓ – ¼ +⅕ -⅙ + 1/7 – ⅛ + 1/9  +…

Nebudem vás trápiť a rovno vám poviem, že jeho súčet je ln(2) čo je približne 0.693. Žiaden problém [4]. Teda žiaden problém ak počítate pekne zľava do prava a veľmi nešpekulujete.

Ak ste špekulanti, mohli by ste začať vymýšľať a napríklad zvlášť spočítať kladné a zvlášť záporné príspevky s cieľom ich potom odpočítať. Nepomohli by ste si. Oba súčty by boli nekonečné a nekonečno mínus nekonečno môže byť kde čo. Nekonečná sú čudné. Počítať s nekonečnami nie je ako počítať granátové jablká. Je to ako počítať granáty. Treba byť opatrný, aby to nevybuchlo.

Lenže špekulantov toto asi nevydesí. Pri druhom pokuse by ste preto nepočítali až do nekonečna, ale povedzme, že by ste spočítali len prvých milión kladných čísel. Dostali by ste súčet trochu väčší ako 7,54 (áno takto pomaly to do toho nekonečna rastie). No a teraz by ste začali odčítavať záporné čísla, až kým by ste nepadli so súčtom pod sedem. Potom by ste zase pripočítali toľko kladných čísel, aby ste dostali súčet nad sedem a potom zase záporné, kým by ste boli pod sedem a tak ďalej až do nekonečna. Verte, či neverte, súčet takéhoto nekonečného radu by bol naozaj statočných sedem a nie 0.693. Pritom by ste použili tie isté čísla. Nič by ste nepridali a ani nevynechali.

Čo sa teraz stalo? Neučili vás, že súčet je komutatívny? Teda, že je jedno v akom poradí veci spočítavate? Že a+b=b+a, že  2+3 je to isté čo 3+2? Učili, isto vás učili a dobre vás učili. Teda ak máte košík jabĺk. Lenže skoro isto vám nepovedali, že to platí len pre konečný počet sčítancov. Ak ich je nekonečne veľa, tak to platiť jednoducho nemusí. Treba si dávať na takéto špekulovanie pozor. Najlepšie je počítať pekne zľava doprava.

Čo iné ešte neplatí? Napríklad asociatívny zákon, teda že si môžete dať zátvorky kde len chcete. Je pravda, že (a+b)+c = a + (b+c), ale niečo také by ste nemali robiť, keď spočítavate nekonečne veľa čísel. A to sa, prosím pekne, stále bavíme o konvergentných radoch, ktoré sú ešte celkom kamarátske.

Pre divergentné rady neplatí ešte veľa iných vecí, ktoré sú vám úplne prirodzené, keď počítate niečo, čo je isto konečné. Tak prirodzené, že na to ani nemyslíte. Napríklad, že keď zo súčtu vyhodíde prvé číslo, tak výsledok je ten pôvodný súčet mínus to jedno číslo.

Divergentný znamená, že postupné súčty radu lezú do plus alebo mínus nekonečna, napríklad:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 +…

je zjavne nekonečno. Nekonečná, sú divočina. Čo je nekonečno mínus jedna? Nekonečno. Čo je nekonečno deleno kvadrilión miliónov? Nekonečno. Ale to nie je všetko. Divergentný je aj rad, ktorého postupné súčty nelezú k jednému číslu. Napríklad, čo je súčtom radu:

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 +…

Skúsme si to: S0 = 1, S1 = 0, S2 = 1, S3 = 0 a tak ďalej. Je celkový súčet 1 alebo 0? Ani jedno. Rad jednoducho diverguje. Nedáva rozumnú sumu.

Už vieme, že musíme byť opatrný keď spočítavame nekonečné rady. Vráťme sa teraz naspäť k nášmu poruchovému počtu a geometrickému radu:

1 + k + k2 + k3 + k4 + k5 + k6 +…

Jeho súčet je naozaj presne 1/(1-k), dokonca vám o chvíľu ukážem ako na to. Ale pozor. Platí to LEN a LEN ak je k väčšie ako -1 a zároveň menšie ako 1. V tomto intervale ten rad konverguje. Inak diverguje. Preto nám poruchový počet vyšiel pre malé hodnoty k, ale vybuchol pre k=2. Tak je to správne. Na písomke v škole by nás pochválili, že rozumieme nekonečným radom. V reálnom svete je nám to nanič, nevyriešili sme totiž náš problém.

Čo vlastne robíme?

Čo my vlastne chceme vedieť? Chceme vedieť správne spočítať nekonečný rad? Ani nie. My chceme vedieť riešenie tej rovnice. My chceme vyriešiť reálny problém. Niečo čo naozaj existuje tam vonku a my tomu buď nerozumieme, alebo to potrebujeme nejako zmeniť či nastaviť. To je to, čo nás zaujíma. V našom príklade chceme poraziť robota.

Pozrime sa na to trochu inak. Doteraz sme sa bavili o tom, aké číslo dostaneme, keď zrátame rad. Či už konečný, alebo nekonečný. Ale správne riešenie, ktoré akože nevieme, S(k) = 1/(1-k), nie je len číslo. Je to funkcia závislá na k. Aj ten geometrický rad, ktorý sme dostali poruchovým počtom, je funkcia závislá na k. Tie funkcie sa rovnajú pre všetky k, pre ktoré ten rad konverguje. Nie je miesto, kde by sa nerovnali, ak súčet radu konverguje.

Viete čo to znamená? Znamená to, že 1/(1-k) a ten rad sú vlastne tá istá funkcia. Rovnaká funkcia zapísaná dvoma rozdielnymi spôsobmi. Jeden z nich, konkrétne ten rad, funguje len na istom intervale k-čiek. Nie je to tak, že jeden z tých zápisov je ten správny a ten druhý sa mu len rovná. Ono je to tak, že tá funkcia si len tak existuje aj bez nášho zápisu. Pláva si slobodne matematickým priestorom a má nejaké vlastnosti, ktoré ju definujú. Až keď s ňou potrebujeme MY niečo robiť, tak si ju zapíšeme. Nejako. Ten zápis nie je funkciou. Ten zápis je len naša reprezentácia, ktorá môže pre tu funkciu fungovať všade, ale aj nemusí. Náš geometrický rad je zápis funkcie, ktorá sa dá inak zapísať aj ako 1/(1-k). Ibaže rad funguje len ak -1 < k < 1. Vďaka poruchovému počtu sme si nevybrali úplne dobrý zápis, pretože my potrebujeme vedieť výsledok pre všetky k. Ale lepší zápis zatiaľ nevieme. Tak čo teraz?

Skúsime tú funkciu, alebo aspoň jej hodnoty, uhádnuť z nášho zápisu aj v miestach, kde nefunguje. Že ako? Budeme sa nadrzovku tváriť, že ten náš zápis v tvare radu funguje všade. Teda aj tam, kde jasne diverguje.

Ako “spočítavať” divergujúce rady

Potrebujeme tomu dať nejaký učený rámec, nech to nevyzerá, že sme sa úplne pomiatli. Nech babka neľutuje, že nám odkázala ten recept a tak. Čo vieme? Vieme, že náš geometrický rad diverguje pre = 2. Tak to jednoducho je. Ale čo ak by sme použili nejaký iný spôsob počítania takého radu? Nejakú fintu. Nejaké trošku iné +, ktoré budem značiť ⊕ a vďaka ktorému by sme z divergentného radu vyrobil konvergentný. Niečo ako a1 + a2  + a3  + a4 +… lezie do nekonečna ale a1 ⊕ a2  ⊕ a3  ⊕ a4 ⊕…  je konečné číslo ale inak sa to ⊕ chová ako úplne normálne + (tak ho aj budeme používať). Je veľa spôsobov, ako také ⊕ zadefinovať, ale ja vám neukážem ani jeden. Takéto čudné sumovania si vymýšľali géniovia ako Euler, Borel, Maclaurin, alebo Ramanujan. Ak si kliknete na ich mená, zistíte, že ich čudné ⊕ väčšinou okrem spočítavania ešte aj násobí každý člen nekonečného radu nejakou funkciou. Potom rad s takto prenásobenými členmi spočítajú normálne. Nakoniec vyhlásia, že všetky tie funkcie boli vlastne jednotky a teda vôbec nevadilo, že nimi niečo násobili. No jednoducho divoké, zložité a ťažko vysvetliteľné kúzla. Pravda, ak nieste matematickým géniom.

Ja túto mágiu vynechám a naozaj vám nepoviem, čo budú tie naše čudné pluská presne stvárať. Ja vám len poviem, aké vlastnosti by malo mať to naše čudné spočítavanie. Niečo ako keď vám v škole vraveli, aké vlastnosti má normálne sčítavanie s normálnym +. Fajn je, že akékoľvek čudné pluská by ste si vybrali, alebo vymysleli, ak budú mať naše vlastnosti, tak všetci dostaneme ten istý výsledok. Ešte viac fajn je, že si nič vyberať ani vymýšľať nemusíte. Veď uvidíte.

Všetky vlastnosti ktoré napíšem, sú veci, ktoré bez problémov fungujú pre normálne spočítavanie:

Naše čudné sčítavanie musí byť také, že:

1. Ak použijeme ⊕ na konvergentný rad, dostane presne to isté čo normálnym súčtom:

(b0 ⊕ b1 ⊕ b2 ⊕ b3 ⊕ b4 ⊕ b5 ⊕ …) =  b0 + b1 + b2 + b3 + b4 + b5 + … = S

Toto je dôležité. Načo by nám bolo sčítavanie, čo nám pokazí niečo, čo funguje dobre? To by bola zbytočná anarchia. Aspoň vo fyzike.

2. Nič nepokazíme, keď vytiahneme prvé číslo pred zátvorku a pripočítame ho normálnym pluskom k zvyšku radu: 

(b0 ⊕ b1 ⊕ b2 ⊕ b3 ⊕ b4 ⊕ b5 ⊕ …) = b0 + (b1 ⊕ b2 ⊕ b3 ⊕ b4 ⊕ b5 ⊕ …)

Jednochucho chceme, aby tá čudná suma nebola až taká čudná. Požadujeme, že ak dostaneme, že suma je S, tak tá istá suma, ale bez prvého čísla, bude jednoducho S mínus prvé číslo. Niečo ako S= 1 ⊕2 ⊕3 ⊕ 4 ⊕ 5 ⊕…  tak potom S – 1 = 2 ⊕ 3 ⊕ 4 ⊕ 5⊕… To nie je nič divoké, nie?

3. Dva nekonečné rady sa dajú spočítať tak, že postupne zrátame čísla na rovnakých pozíciách:

(b0 ⊕ b1 ⊕ b2 ⊕ b3 ⊕ b4 ⊕ b5 ⊕ …) + (c0 ⊕ c1 ⊕ c2 ⊕ c3 ⊕ c4 ⊕ c5 ⊕ …) =

= ([b0 +c0  ] ⊕ [b1 + c1 ] ⊕ [b2 + c2 ] ⊕ [b3 + c3 ] ⊕ [b4 + c4 ] ⊕ [b5 +c5 ] ⊕ …)

To je naozaj len návod ako spočítavať nekonečné rady. Vieme, že nesmieme nič prehadzovať. Ale dajú sa spájať tak, že dáme spolu nulté členy, potom prvé, potom druhé a tak ďalej.

4. Platí distributívny zákon:

r×(b0 ⊕ b1 ⊕ b2 ⊕ b3 ⊕ b4 ⊕ b5 ⊕ …) = (r×b0 ⊕ r×b1 ⊕ r×b2 ⊕ r×b3 ⊕ r×b4 ⊕ r×b5 ⊕ ….)

kde r je konštanta. Teda niečo ako r×(1+2)=r×1+r×2. [5]

To je všetko. Dobre, prečo práve toto? Prečo nie nejaké iné vlastnosti? Preto, lebo toto sú vlastnosti, ktoré majú všetky konvergentné rady. Nemajú tie o ktorých sme sa už bavili, ale tieto áno. Divergentné rady v skutočnosti nemajú ani tieto.

Inak povedané, síce sa tvárime učene, ale vlastne len rebelujeme. My vieme, že tie rady ktoré chceme “spočítať” divergujú a my vieme, že keď rad diverguje, nesmieme sa tváriť, že konverguje. A aj tak budeme. Budeme ich spočítavať ako keby konvergovali a naše ⊕ budeme vlastne používať úplne rovnako ako obyčajné +. To je čudné a matematici nás právom za to nemajú radi. Lenže nezabúdajte, že my nechceme správne zrátať rad. My chceme nájsť riešenie problému, ktoré vieme len v tvare radu, ktorý nefunguje tam, kde potrebujeme. Tak si to skúsme:

1 + k + k2 + k3 + k4 + k5 + k6 +…

je pre k = 2

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + …

Normálna suma zjavne diverguje (suma je nekonečno), ale čo tak naša čudná suma:

S = (1 ⊕ 2 ⊕ 4 ⊕ 8 ⊕ 16 ⊕ 32 ⊕ 64 ⊕ 128 ⊕ 256 ⊕…)

Použijeme druhú vlastnosť:

= 1 + (2 ⊕ 4 ⊕ 8 ⊕ 16 ⊕ 32 ⊕ 64 ⊕ 128 ⊕ 256 ⊕…)

Teraz štvrtú vlastnosť, teda niečo ako 2(1+2+3)=2+4+6:

= 1+2 (1 ⊕ 2 ⊕ 4 ⊕ 8 ⊕ 16 ⊕ 32 ⊕ 64 ⊕ 128 ⊕…)

Tá vec v zátvorke je predsa to s čím sme začali, takže

= 1+2 S

Výsledok:

= -1

Čo nám malo vyjsť? Presné a správne riešenie je 1/(1-k) = 1/(1-2) = 1/(-1) = -1. Vyšlo nám to dobre! A ani nemusíme vedieť, čo to ⊕ presne robí. Čo nám to ale vlastne vyšlo? Vyšlo nám, že suma nekonečného radu, ktorý má len kladné čísla a úplne jasne diverguje, je -1? Nie! Nám sa podarilo zistiť hodnotu funkcie v mieste, kde ju nevieme len preto, že náš zápis v tom mieste nefunguje. Spravili sme to tak, že sme na drzovku ignorovali, že nefunguje. Viete čo? Môžeme to urobiť aj všeobecne pre ľubovoľné k:

= ( 1 ⊕ kk2k3k4k5k6k7 ⊕…)

= 1+( kk2k3k4k5k6k7 ⊕…)

= 1+k( 1 ⊕ kk2k3k4k5k6 ⊕ …)

= 1+k S

S = 1/(1 – k)

Práve sa nám podarilo dostať iný zápis funkcie. Taký, čo je riešením všade. Predĺžili sme si naše riešenie z -1 < k <1 úplne všade. Toto je iná mágia, nie? Čo sa stalo? Mali sme riešenie, ktoré nefungovalo. Tvárili sme sa že funguje a dostali sme riešenie, ktoré naozaj funguje. Toto majú asi Američania na mysli, keď vravia: Fake it till you make it. Ak by ste tomu riešeniu neverili, a povedzme si úprimne, prečo by ste aj mali, stále sa dá jednoducho overiť tak, že ho dosadíte do pôvodnej rovnice a skúsite či sedí. Tak to naozaj robíme. Overiť si riešenie je väčšinou oveľa jednoduchšie, ako ho odvodiť.

Skúsme túto šalátovú metódu ešte na niečo iné. Napríklad:

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 +…

Čiastočné súčty tohto radu oscilujú medzi 1 a 0, takže diverguje. Ale my už vieme ako na to:

S = ( 1 ⊖ 1 ⊕ 1 ⊖ 1 ⊕ 1 ⊖ 1 ⊕ 1 ⊖ 1 ⊕ 1 ⊖…)

kde som len skrátil zápis bn ⊕ (-1)bn+1 =  bn  ⊖  bn+1. Vytiahnutím prvej jednotky pred zátvorku dostaneme:

S = 1 + ( -1 ⊕ 1 ⊖ 1 ⊕ 1 ⊖ 1 ⊕ 1 ⊖ 1 ⊕ 1 ⊖…)

S = 1 – ( 1 ⊖ 1 ⊕ 1 ⊖ 1 ⊕ 1 ⊖ 1 ⊕ 1 ⊖ 1+…)

S = 1 – S

S = ½

Neviem čo je to za funkciu, ktorá vypľula tento rad, ale jej hodnota je ½. Dobre a čo tak

1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9 – 10 + 11 -…

Čiastočné sumy sú 1, -1, 2, -2, 3, -3 … to sa neblíži k ničomu rozumnému, ale

= (1 ⊖ 2 ⊕ 3 ⊖ 4 ⊕ 5 ⊖ 6 ⊕ 7 ⊖ 8 ⊕ 9 ⊖ 10 ⊕ 11 ⊖…)

2 S = (1 ⊖ 2 ⊕ 3 ⊖ 4 ⊕ 5 ⊖ 6 ⊕ 7 ⊖ 8 ⊕ 9 ⊖ 10 ⊕ 11 ⊖…+…) +

+(1 ⊖ 2 ⊕ 3 ⊖ 4 ⊕ 5 ⊖ 6 ⊕ 7 ⊖ 8 ⊕ 9 ⊖ 10 ⊕ 11 ⊖……)

2 S=(1 ⊖ 2 ⊕ 3 ⊖ 4 ⊕ 5 ⊖ 6 ⊕ 7 ⊖ 8 ⊕ 9 ⊖ 10 ⊕ 11 ⊖……)+

+0+(1 ⊖ 2 ⊕ 3 ⊖ 4 ⊕ 5 ⊖ 6 ⊕ 7 ⊖ 8 ⊕ 9 ⊖ 10 ⊕ 11 ⊖……)

2 S=(1 ⊖ 2 ⊕ 3 ⊖ 4 ⊕ 5 ⊖ 6 ⊕ 7 ⊖ 8 ⊕ 9 ⊖ 10 ⊕ 11 ⊖……)+

+(0 ⊕ 1 ⊖ 2 ⊕ 3 ⊖ 4 ⊕ 5 ⊖ 6 ⊕ 7 ⊖ 8 ⊕ 9 ⊖ 10 ⊕ 11 ⊖……)

Len som spočítal dva rovnaké rady, ale jeden som ešte predtým posunul o 0. Teraz konečne použijem aj tretiu vlastnosť:

2 S=([0+1] ⊕ [1-2] ⊕ [-2+3] ⊕ [3-4] ⊕ [-4+5] ⊕…)

2 S=(1 ⊖ 1 ⊕ 1  ⊖ 1 ⊕ 1  ⊖ 1 ⊕ 1  ⊖ 1 ⊕ 1  ⊖…)

Ale to sme už mali, takže vieme že

2 = ½

= ¼

 

Výsledok je ¼. Tak a teraz skúsme konečne to slávne

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + …

Použijeme čo sme práve dostali:

– ¼ = (1 ⊕ 2 ⊕ 3 ⊕ 4 ⊕ 5 ⊕ 6 ⊕…) – (1 ⊖ 2 ⊕ 3 ⊖ 4 ⊕ 5 ⊖ 6 ⊕ …)

– ¼=((1-1) ⊕ (2+2) ⊕ (3-3) ⊕ (4+4) ⊕ (5-5) ⊕…)

– ¼ = (0 ⊕ 4 ⊕ 0 ⊕ 8 ⊕ 0 ⊕ 12 ⊕…)

– ¼ = 4 (0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 2 ⊕ 0 ⊕ 3 ⊕…)

V tomto bude ľudia povedia buď: na nuly sa môžeme vykašľať, alebo: použijeme tretiu vlastnosť teda: Čudo(0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 2 ⊕ 0 ⊕ 3 ⊕ …) = Čudo([0+1] ⊕ [0+2] ⊕ [0+3] ⊕ …) =
(0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ …) + (1 ⊕ 2 ⊕ 3 ⊕ 4 ⊕ 5 ⊕ 6 ⊕……) a potom použijeme prvú vlastnosť, ktorá nám dá že  (0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ …) = 0 a dostaneme:

– ¼ = 4 S

3S = -1/4

S = -1/12

A máme slávnych -1/12! Juchú! Sme najlepší na svete!

Má to len jednu chybičku krásy. Podvádzali sme. Spáchali sme matematický zločin. Taký, ktorý vadí už aj mne. Páchajú ho všetci, čo toto robia a nevedia prečo môžu (teda nie géniovia ako Ramanujan). Už sme si povedali, že zátvorkovať sa nesmie len tak naverímboha, ani keď máme konvergentný rad. Takže nejde len tak použiť tretiu vlastnosť. No a keď je v nekonečnom rade nekonečne veľa núl a ešte sú pomedzi ne aj iné čísla, tak sa na tie nuly nedá len tak vykašľať. Chcete dôkaz? Pozrime sa na takýto rad:

(1 + 0 – 1 + 1 + 0 – 1 + 1 + 0 – 1 + 1 + 0 – 1 + …)

Ak by som sa na nuly vykašľal, máme niečo čo sme už mali. Sériu, kde sa striedajú plus a mínus jednotky. Tá nám pri našom čudnom sumovaní vyšla ako S=½. Lenže:

S=(1 ⊕ 0 ⊖ 1 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊖ 1 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊖ 1 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊖ 1 ⊕ …)

S=1+(0 ⊖ 1 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊖ 1 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊖ 1 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊖ 1 ⊕…)

S=1+0+( -1 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊖ 1 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊖ 1 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊖ 1 ⊕…)

Teraz použijem tretiu vlastnosť a sčítam všetky tri tieto rovnice spolu:

3S = 2+(0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ …)

S = 2/3

To nie je 1/2 , to je iné číslo! Keď je núl nekonečne veľa, nedajú sa ignorovať!

Tak ich zoberme vážne aj tam hore v našom 1+2+3+4 .. rade:

Z = (0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 2 ⊕ 0 ⊕ 3 ⊕ …)

Z = 0 + (1 ⊕ 0 ⊕ 2 ⊕ 0 ⊕ 3 ⊕ …)

Tieto rovnice spočítame a zopakujeme podobnú fintu znova:

2Z = (1 ⊕ 1 ⊕ 2 ⊕ 2 ⊕ 3 ⊕ 3 ⊕ 4 ⊕ 4 ⊕ 5 ⊕ 5 ⊕ …)

2Z = (0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 2 ⊕ 2 ⊕ 3 ⊕ 3 ⊕ 4 ⊕ 4 ⊕ 5 ⊕ 5 ⊕ …)

A zase ich zrátame:

4Z = (1 ⊕ 2 ⊕ 3 ⊕ 4 ⊕ 5 ⊕ 6 ⊕ 7 ⊕ 8 ⊕ 9 ⊕ 10 ⊕ …)

Z=S/4

Kde S =(1 ⊕ 2 ⊕ 3 ⊕ 4 ⊕ …). Teraz to doplníme tam hore tesne predtým, ako sme začali podvádzať a dostaneme:

– ¼ = 4 (0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 2 ⊕ 0 ⊕ 3 ⊕ …)

– ¼ = 4 Z

– ¼ = 4 S /4

– ¼ = S

Uff, – ¼ = S, by mohlo sedieť, len ak by bolo predsa len nekonečno. Čo sa teraz stalo? Je výsledok -1/12 nezmysel? Nie je. Je to správny výsledok. Problém je v tom, že nie všetky divergujúce sumy sa dajú zachrániť naším čudným sumovaním. Teda sumovaniami ktoré sa riadia podľa pravidiel, ktoré som hore uviedol. Čudné sumácie, ktoré navrhol Euler a Borel (a ďalší) spĺňajú tieto pravidlá, ale na 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+… treba niečo ešte sofistikovanejšie.

Potrebovali by sme napríklad Zeta sumáciu (regularizáciu Zeta funkciou) alebo Ramanujanovú sumáciu, teda sumácie, ktoré nerešpektujú všetky naše pravidlá. Lenže to sú veci, ktoré ja už v jednom blogu nevysvetlím. Ani v takto šialene dlhom.

Sklamaní? Taký cirkus a nakoniec vám ani neprezradím, ako správne dostať tých -1/12? Ale niečo ste sa aj tak naučili, nie? Ukázal som vám, ako sa dá mnohým divergujúcim radom celkom jednoducho prideliť číslo, že to nie je hádanie a že vieme kedy, prečo a aj ako to urobiť.

Sumujeme pritom divergentné rady? Nie. Aspoň nie vo fyzike. My väčšinou riešime nejaký konkrétny problém. Fyzika toho problému vraví, že nie je dôvod, aby riešenie divergovalo. Lenže metóda, ktorú máme po ruke, nás zahnala do kúta. Dostali sme riešenie v zápise, ktorý síce niekde funguje, lenže nie všade tam, kde potrebujeme. Ale my sa nedáme! Nám je jedno kam chce ísť tá divergentná suma. My sa snažíme vyčísliť to reálne riešenie, nie tú sumu. My poľujeme na tú abstraktnú funkciu, ktorá by v inom zápise nedával nezmyselné divergencie. Dnes som vám ukázal jeden spôsob ako na to. Toto je len jeden trik ako to urobiť. Nefunguje vždy, ale často áno.

Sú aj iné postupy. Lepšie. Také, ku ktorým sa môžete priznať aj v slušnej spoločnosti. Také, čo vás zachránia aj pri radoch, kde náš trik zlyhal. Dokonca aj také, ktoré sa dajú použiť, aj keď nevieme všetky a-čka. Teda metódy, ktoré vieme použiť, aj keď nevieme vyriešiť problém úplne presne. Keď nemáme po ruke celý divergentný rad. Toto je vlastne ich najväčšia sila. Dostaneme len pár členov radu. Nevyzerajú, že by ich sumy išli k niečomu rozumnému a my z nich aj tak dostaneme približné riešenie [6]. Tieto metódy sú zložitejšie ako tá, ktorou ste si práve prešli (Klobúk dole pred vami! Sám so to skoro nedočítal.). Ich pointa je ale tá istá. Predlžujú nám riešenie aj tam, kde nám už metóda nepraje.

Rozumieme si? Nemáme presné riešenie, nemáme ho v konvergentnom tvare, nemáme ani len ten celý divergentný tvar a predsa to často stačí. Jediné čoho sa treba vzdať, je ilúzia, že musíme problémy riešiť presne.

[1] Toto by už bol úplne iný problém, nie naša hračka s robotom. Nesedeli by nám ani len jednotky. Uvádzam to preto, že takú rovnicu už exaktne nevyriešite. Poruchovo to ide, ale namakáte sa aj tam. späť
[2] Alebo inak, sú to analytické funkcie a teda majú Taylorov rozvoj. späť
[3] To je presne tá vec, ktorej nerozumel Zenon. späť
[4] Klamem. Spočítať tento rad nebolo jednoduché, ale už to za nás spravili iní. späť
[5] Posledné dve vlastnosti znamenajú, že požadujeme linearitu. späť
[6] Ak vás to zaujalo, venujete sa niečomu takto technickému a máte rozumné základy z matematiky, tak vám odporúčam knihu od Carla Bendera. Vlastne som len zjednodušil niekoľko kapitol jeho kurzu, ktorý je aj na youtube, dovysvetlil ich a doplnil pár drobností. Sčítavanie nekonvergujúcich radov začína niekde v štvrtej lekcii. späť

Teraz najčítanejšie

Martin Žonda

Vyštudoval som všeobecnú a matematickú fyziku na UPJŠ v Košiciach a v rovnakom meste som absolvoval aj doktorandské štúdium so zameraním na teóriu kondenzovaných látok. Po doktoráte som takmer šesť rokov pôsobil na Karlovej Univerzite v Prahe. Momentálne som postdokom na univerzite Alberta Ludwiga v nemeckom Freiburgu.