Denník N

GPS, Galileo a teória relativity

O tom, ako môže aj malý rozdiel v plynutí času narobiť veľkú galibu v určovaní polohy.

V lete 2014 niesla raketa Sojuz na orbitu hneď dva satelity európskeho navigačného systému Galileo. Satelity, ktoré sa volajú Doresa a Milena, mali v ten deň smolu. Sojuz pre poruchu netrafil plánovanú obežnú dráhu. Namiesto takmer dokonale kruhovej orbity, potrebnej pre správne fungovanie navigácie, sa Doresa s Milenou točia po elipse. Ich vzdialenosť od Zeme sa počas dňa výrazne mení. Rozdiel medzi výškou v najvzdialenejšom a najbližšom bode je 8500km a Doresa s Milenou si tento Everest vyšliapu a zlezú dvakrát denne.
Inžinieri od Galilea mali hlavu v smútku, ale pár európskych fyzikov si začalo mädliť ruky. Dennodenné horolezecké výkony Doresy a Mileny im totiž umožnili veľmi presne otestovať jednu z predpovedí všeobecnej teórie relativity. Konkrétne, že čas plynie v blízkosti Zeme pomalšie, ako keď ste od nej ďaleko.

Dôraz je tu na slovách veľmi presne. Nešlo o nový nápad či revolučnú fyziku. S relativistickými efektami si museli dať rady už inžinieri, ktorí v šesťdesiatych a sedemdesiatych rokoch minulého storočia testovali prvé navigačné satelity.

GPS

Americký GPS je služobne najstarším plne funkčným globálnym družicovým polohovým systémom [1]. Tvorí ho (aspoň) 24 satelitov [2], ktoré obiehajú okolo Zeme rýchlosťou 3.9km za sekundu po takmer kruhových orbitách s polomerom 26 600 km.

Takže satelity sú rýchle. Čas v rýchlo sa pohybujúcom objekte plynie pomalšie ako v stojacom. Zo Špeciálnej teórie relativity (ŠTR) vyplýva, že v dôsledku vysokej rýchlosti by sa mali hodiny umiestnené na GPS oneskoriť za 24 hodín o 7 mikrosekúnd (μs) oproti tým na Zemi.

Ale satelity sú aj vysoko. Polomer Zeme je približne 6360 km, ich orbita je preto viac ako 20 000 km nad zemou. Čas v silne zakrivenom priestoročase plynie pomalšie ako v slabo zakrivenom. Priestoročas je zakrivovaný hmotnými telesami, ako je napríklad naša Zem. To zakrivenie pozorujeme ako silu, ktorú voláme gravitácia. Čím ste bližšie k centru gravitácie, tým je zakrivenie väčšie a čas plynie pomalšie. Všeobecná teória relativity (VTR) preto predpovedá, že v dôsledku vysokej orbity budú hodiny na GPS satelitoch predbiehať tie pozemské o 45 mikrosekúnd každý deň.

ŠTR a VTR idú proti sebe ale nie sú si rovné. Vo výsledku preto máme 45 μs – 7 μs = 38 mikrosekúnd. Čas na GPS satelitoch plynie rýchlejšie. Za deň ten rozdiel činí 38 μs. Poviete si: “A čo?” Veď to je smiešne málo. Keď rozdelíme jednu sekundu na tisíc dielikov, tak dostaneme milisekundu (ms). Tú milisekundu musíme rozdeliť na ďalších tisíc dielikov a až potom dostaneme mikrosekundu. Naviac je ten rozdiel za jeden celý deň! V jednom dni je viac ako 86 miliárd mikrosekúnd. Tá odchýlka je vlastne jeden dielik k 2,4 miliardám. Máme vôbec hodiny, ktoré by boli dosť presné na to, aby toto zmerali? A keby aj hej, tak smiešne malá odchýlka predsa nemôže hrať rolu v technike, či?

Odpoveď na prvú otázku je: Áno máme. Každý navigačný satelit si nesie superpresné atómové hodiny, ktoré určujú čas s presnosťou na desiatky nanosekúnd. Prečo? Lebo odpoveď na druhú otázku je: Áno, takáto odchýlka by už hrala obrovskú rolu. Nie je to síce taká dráma, ako napríklad vo filme Interstellar, ale je to dosť na to, aby bola navigácia nepoužiteľná. Aby sme rozumeli prečo, musíme sa pozrieť na to, ako satelitná navigácia vlastne funguje.

Ako funguje satelitná navigácia

Naše GPS zariadenie – prijímač (mobil, navigácia v aute, totálna stanica …) počíta svoju polohu trilateráciou. Trilaterácia je múdre slovo pre jednoduchú metódu, vďaka ktorej sa dá vypočítať naša poloha podľa vzdialenosti od satelitov.

Každý satelit (S) vysiela pravidelne signál, ktorý obsahu správu o presnej polohe satelitu (xS , yS, zS) a presnom čase tS, v ktorom bol signál vyslaný. GPS prijímač má vlastné hodiny a v tom momente, keď zachytí signál, si zmeria čas tPS . Keďže signál sa šíri rýchlosťou svetla c, dá sa vzdialenosť k satelitu jednoducho vypočítať ako rýchlosť krát čas: rS= c (tPS – tS). Jeden satelit samozrejme nestačí, ale ak máme vzdialenosť k niekoľkým, tak vieme spočítať kde sme.

Na obrázku ilustrujem ako. Pre jednoduchosť je obrázok len v 2D a naviac, ako uvidíte neskôr, som ešte zanedbal veľa iných vecí.

Ilustrácia GPS trilaterácie.

My stojíme napríklad tam, kde ukazuje červená šípka. Zelené štvorčeky sú satelity. Vzdialenosť k satelitu 1 je r1 a k satelitu 2 je r2. Kde sme? Zjavne tam, kde sa tie zelené kružnice s polomermi r1 a r2 pretli. Ako teraz spočítam svoju polohu? Pytagorovou vetou.

Poznáme polohu oboch satelitov (x1 , z1)(x2 , z2) a chceme vedieť tú svoju (xP , zP). Podľa obrázku vidíme, že

r12=(x1 – xP)2+(z1 – zP)2,
r22=(x2 – xP)2+(z2 – zP)2.

Máme dve rovnice a dve neznáme xPzP. Stačí nám vedieť, že aby to šlo spočítať, potrebujeme toľko satelitov (nezávislých rovníc), koľko máme neznámych. Ostatok už urobí za nás naše GPS zariadenie (napríklad mobil) a to aj vrátane prevodu na zemepisnú šírky, dĺžku a nadmorskú výšku.

Ešte je tu malý zádrheľ. Kružnice sa pretínajú v dvoch bodoch. To znamená dve sady riešení. Na to, aby sme vedeli určiť, ktoré riešenie je správne, je dobré mať kontrolný signál z tretieho satelitu.

Ale stále sa hráme v 2D. Koľko satelitov potrebujeme v 3D? Máme tri neznáme xP, yPzP a na ich spočítanie preto potrebujeme tri satelity plus štvrtý kontrolný na určenie, ktoré riešenie je správne [3].

Zatiaľ je to matematika na úrovni základnej školy. Žiaden problém. Lenže fras sa schováva v detailoch. Čo je tá jediná vec, ktorú meriame? Čas! Potrebujeme vedieť rozdiel medzi časom, kedy bol signál vyslaný a kedy sme ho prijali. Z tohto času potom spočítame vzdialenosť k satelitom a znej všetko ostatné. Ak budeme mať zle zmeraný čas, budeme mať zle spočítané rS a následne aj našu polohu. O koľko sa môžeme pomýliť v meraní času?

Povedzme, že by bola nepresnosť v meraní času plus mínus jedna sekunda. To znamená, že nepresnosť vo vzdialenosti by bola jedna sekunda krát rýchlosť svetla. Rýchlosť svetla je 299 792 km/s. Chyba v určení polohy by bola skoro plus mínus 300 tisíc kilometrov. Obvod Zeme je približne 40 tisíc kilometrov a k Mesiacu je to menej ako 400 tisíc kilometrov. Je jasné, že potrebujeme oveľa presnejšie hodinky.

Presnosť na jednu milisekundu, teda tisícinu sekundy, je stále nanič. Chyba v určení polohy by bola zhruba 300 km. Zapli by sme si navigáciu v Košiciach a s vážnym displejom by vyhlásila, že sme niekde v Trenčíne, Krakove, Ľvove, Budapešti, alebo tak nejako.

Čo tak presnosť na jednu mikro sekundu? Teda tisícinu milisekundy? Zlepšujeme sa. Stiahli sme to na 300 metrov. Vieme, že v skutočnosti zvykne byť navigácia ešte o dosť presnejšia, ale zostaňme na chvíľu pri mikrosekundách.

Povedzme, že nás presnosť hodín nemusí trápiť. Že sú naše hodiny tu na Zemi aj v satelitoch tak presné, ako sa len dá. Aj tak máme problém. Čas v satelitoch plynie rýchlejšie ako na Zemi. Ak by sme hodiny skalibrovali, teda obe pustili v presne rovnakom čase, tak tie na Zemi by už po jednom dni ukazovali o 38 mikrosekúnd menej, ako na tie v satelite. No a 38 mikrosekúnd krát rýchlosť svetla dáva odchýlku viac ako 11 kilometrov. Ani z Téryho chaty na Sliezsky dom to nie je 11 kilometrov. Toto by sme navigácii netolerovali.

Čo stým?

Navigačné systémy pristupujú k tomuto problému rôznym spôsobom. GPS aj ruský GLONASS jednoducho umelo spomalili hodiny v satelitoch. Bežia rovnako rýchlo, či skôr pomaly, ako tie na Zemi. Galileo ide na to inak. Európania nič nemenili. Informácia o korekcii k relativistickým efektom je posielaná v signále spolu s polohou a časom. Je na našom navigačnom zariadení (prijímači), aby si ju zarátalo. Tento prístup má isté výhody. Orbity satelitov Galileo sú takmer presne kruhové, ale nie presne kruhové. Ten malý rozdiel vo výške má vplyv na relativistickú odchýlku. Aj tento rozdiel sa dá zahrnúť do signálu.

Ďalšou výhodou je, že ak vaše satelity vyniesol Sojuz na nesprávnu orbitu, ktorá nie je kruhová ani približne, tak sa fyzici potešia. Odrazu majú tam hore dva satelity, ktoré periodicky menia svoju výšku a posielajú veľa užitočných údajov. Napríklad čas podľa ich extrémne presných atómových hodín, do ktorých nikto nezasahoval. Čas, ktorý by sa mal zrýchľovať a spomaľovať s tým, ako narastá a klesá ich vzdialenosť od Zeme.

To spravilo z Doresy a Mileny ideálne zariadenia na testovanie všeobecnej teórie relativity, na ktoré ani netrebalo písať granty a žiadať peniaze.

Prevzaté z Phys. Rev. Lett. 121, 231101 (2018) so súhlasom APS a Dr. Delvu

Výsledok je na obrázku prebraného s dovolením APS z článku A gravitational redshift test using eccentric Galileo satellites. Na hornom paneli je na x-ovej osi čas v dňoch a na y-novej odchýlka v čase (oproti času strednej dráhy) v nanosekundách, spôsobená relativistickými efektami. Spojitá modrá čiara predstavuje relativistický výpočet. Žlté body sú meranie. Zhoda je parádna.

Ak si myslíte, že fyzikov tá zhoda potešila, tak sa trochu mýlite. My v skutočnosti hľadáme situácie, kde teória relativity nefunguje. Niečo, čo by nás nasmerovalo k lepšej teórii sveta. Ale všeobecná teória relativity odoláva. Ešte sme nenarazili na meranie, ktoré by jasne ukázalo, že jej predpoveď je nesprávna, alebo aspoň nepresná. Pritom máme isté dobré dôvody si myslieť, že s ňou niečo nie je v poriadku. Ale o tom už bola reč.

Ak vás zaujímala hlavne tá relativita, a nie až tak tá navigácia, tak tu už môžete prestať čítať. Som rád, že ste to so mnou vydržali a dúfam, že si ma prečítate aj nabudúce.

Ak chcete vedieť ako je to s tou navigáciou naozaj, tak odporúčam pokračovať.

Ako to naozaj funguje, alebo pocta inžinierom

Fyzici používajú GPS, poťažmo GLONASS a Galileo ako dôkaz, že teória relativity má uplatnenie v každodennom živote. Občas niektorí z nás zájdu až tak ďaleko, že tvrdíme, že GPS by bez teórie relativity nefungovala.

Nemyslím si, že je to pravda. Podľa mňa by to inžinieri nejako dali. Možno by nerozumeli, čo presne sa deje s hodinami na orbite, ale po pár nezdaroch by tie hodiny nastavili a prestalo by ich to trápiť. K tomuto presvedčeniu ma vedie to, že relativistické efekty nie sú ani zďaleka jedinou komplikáciou. Ba ani tou najväčšou. Inžinieri od GPS si poradili so všetkými a nie je ich málo. Tak napríklad:

Signál zo satelitov prechádza atmosférou. Nie je jedno či máte satelit priamo nad hlavou, alebo niekde nad horizontom, pretože od toho závisí, ako dlho bude signál v atmosfére. Inú korekciu si vyžaduje prechod ionosférou, inú prechod troposférou. Rolu tu hraje ionizácia, atmosferický tlak a ešte aj vlhkosť.

Satelit aj prijímač potrebujú čas na vyslanie aj prijatie signálu. Majú svoje rozmery a operačnú rýchlosť. Toto treba zarátať.

Rovnice sa neriešia v presnej forme ale v linearizovanej a to metódou podobnou tej ktorú som spomínal tu. Inak by neboli vaše GPS prijímače dostatočne rýchle. Vedie to k drobnej chybe.

Signál k vám nemusí doraziť priamo zo satelitu, pretože sa môže od niečoho odraziť. Toto je častá a zásadná komplikácia, lebo signál cestoval dlhšie, ako by cestoval priamo od satelitu.

Zem nie je guľa. Jej neguľatosť spôsobuje malé odchýlky (perturbácie) od teoreticky perfektných eliptických orbít.

Satelity sú vo vzájomnom pohybe.

Aj prijímač sa môže hýbať.

Okrem hore spomínaných je tu ešte aspoň jeden dôležitý relativistický efekt. Je pomenovaný podľa fyzika Sagnaca a súvisí s rotujúcimi telesami, ako sú navigačné satelity aj Zem.

No a keď sme už zase pri tej relativite, tak čo bola tá jediná dôležitá vec, ktorú naozaj potrebujeme? Presné hodiny! Hádajte čo? Hodiny vo vašom mobile, alebo inom GPS zariadení nemusia byť dosť presné.

Čo s tým? Inžinieri si poradili. V prvom rade upravili rovnice. Jedna z nich pre satelit S vyzerá zjednodušene takto:

Prvý člen na ľavej strane je to čo predtým rS= c (tPS – tS), ale už vieme, že toto nemusí byť skutočná vzdialenosť. Napríklad naše hodiny môžu trochu meškať alebo predbiehať. Tento člen sa preto označuje ako pseudo-vzdialenosť.

Rozdiel medzi reálnym GPS časom a našimi nepresnými hodinami si zaznačíme ako τ. Keď vynásobíme τ rýchlosťou svetla c dostaneme korekciu k vzdialenosti medzi nami a satelitom na túto chybu. To je náš druhý člen na ľavej strane rovnice.

Zatiaľ nevieme koľko to τ je. Ak by sme to vedeli, tak si jednoducho prestavíme hodinky. Ale vieme, že by malo byť rovnaké pre každý satelit, lebo satelity majú fakt kvalitné časomiery. Do posledného členu kS som zahrnul všetky možné korekcie na javy hore uvedené aj neuvedené. Niektoré vieme vyčísliť (napríklad vplyv ionosféry), iné nie (náhodné odrazy). Tento člen je preto v detailoch zložitý, ale dúfame, že neveľký.

Finta spočíva v tomto. Ak by bolo kS nula, tak máme len štyri neznáme. Tri sú polohové súradnice (xP, yP, zP) a tou poslednou je τ. Čo potrebujeme, keď máme štyri neznáme? Potrebujeme štyri rovnice. Štyri rovnice dostaneme, keď zachytíme signál zo štyroch satelitov.

Toto je hlavný dôvod, prečo je GPS konštruované tak, že vždy sú nad horizontom aspoň štyri satelity. Je to nutné, aby sme nemuseli pri sebe nosiť presne kalibrované atómové hodiny. Zároveň to nie je veľká komplikácia. Ako som uviedol hore, aj keby sme mali perfektné hodinky, aj tak by sme potrebovali štyri satelity.

Je ale užitočné dostať signál z viac ako štyroch satelitov a je tiež užitočné, keď si naša GPSka pamätá svoju predchádzajúcu polohu a všeobecne má čo najviac informácii. Pomôže nám to s tým posledný člen kS, ktorý je len skratkou pre korekcie na všetky možné iné vplyvy. Výrazne takto spresníme vlastnú polohu. Je tiež fajn mať zariadenie, ktoré vie používať aj GLONASS a Galileo, lebo majú iné chyby a tie sa potom dajú kompenzovať.

Je toho samozrejme viac. Detaily sú fascinujúce, ale aj veľmi technické. Rád by som preto už len zložil poklonu ľuďom čo to robia. Myslím tým hlavne inžinierov od navigačných systémov a s nimi aj geodetov, geofyzikov, matematikov a informatikov, ktorí pracujú pod dozorom ekonómov aj politikov. Skladám klobúk, pretože dotlačili a stále tlačia presnosť satelitnej navigácie ďaleko za čokoľvek, čo by som naivne odhadol, že je technicky možné.

[1]Prvý GPS satelit bol vypustený v roku 1978. Ruský GLONASS začal v roku 1982, čínsky BeiDou v roku 2000 a európsky GALILEO v roku 2011. späť

[2]24 je základ, toto číslo nie je fixné pretože staré satelity sú postupne nahradzované novými verziami. Preto ich tam môže byť naraz viac ako 24. Práve teraz je ich v prevádzke 31.
späť
[2] Nie vždy je ten štvrtý satelit nutný. Ak je druhý priesečník na nejakom nerealistickom mieste, napríklad vo vzduchoprázdne, alebo tisíce kilometrov od vašej poslednej polohy, tak navigácia by uhádla ktoré riešenie je správne aj bez kontrolného satelitu. späť

Vybrané zdroje:
H. Bray, Od kompasu k GPS, MatfzyPress (2017)
Galileo, general Introduction

P. Delva et al., Gravitational Redshift Test Using Eccentric Galileo Satellites, Phys. Rev. Lett. 121, 231101 (2018), arXiv:1812.03711
Pseudorange equations: Caltech, ESA

Teraz najčítanejšie

Martin Žonda

Vyštudoval som všeobecnú a matematickú fyziku na UPJŠ v Košiciach a v rovnakom meste som absolvoval aj doktorandské štúdium so zameraním na teóriu kondenzovaných látok. Po doktoráte som takmer šesť rokov pôsobil na Karlovej Univerzite v Prahe. Momentálne som postdokom na univerzite Alberta Ludwiga v nemeckom Freiburgu.