Denník N

Monte Carlo v šušťákoch

O experimentálnom vyčísľovaní π, Chiki liki tu-a, hádzaní šípok a iných matematických kuriozitách.

Čo majú spoločné Chiki liki tu-a a číslo π? Prevažná väčšina zdravých ľudí povie, že nič. Mne príde na um Monte Carlo. Čítajte ďalej a dozviete sa nečakanú súvislosť a snáď uznáte, že som sa nezbláznil.

Začnime pri π. Čo to vlastne je za číslo? Častá odpoveď určite bude 3,14. Táto jeho približná hodnota (zaokrúhlená na dve desatinné miesta) však nejde k podstate veci. Číslo π sa zvyčajne definuje ako pomer obvodu kruhu a jeho priemeru. Z definície nie je vôbec jasná jeho hodnota – ako sme sa teda dostali k školskému 3,14? Samozrejme, môžeme si vyrezať kruh, zmerať jeho obvod a priemer a vydeliť ich. Dostaneme sa však naozaj k π? Šikovní ľudia možno približne. Tí nešikovní, ako napríklad ja, ktorých vyrezaný kruh by sa podobal skôr na priemet veľmi dosekaného zemiaku, musia hľadať inú cestu. Skutočné π žije vo svete geometrie, kde bod nemá časti a čiary nemajú šírku – preto sa k jeho hodnote vieme takýmto pokusom nanajvýš priblížiť.

Keď už ako-tak vieme, čo π je, môžme sa dať na jeho experimentálne vyčísľovanie. Jeden návod už máme:

  1. Nebyť nešikovný
  2. Vyrezať si z niečoho kruh
  3. Zmerať obvod a priemer
  4. Vydeliť

Ukážem vám však iný experimentálny postup, ktorý je vhodnejší pre nás nešikovných a súvisí s Monte Carlom. Využijeme pri tom známy vzorec na výpočet obsahu kruhu, na ktorý prišli starí múdri páni. Tí, mimochodom, prišli aj na mnohé spôsoby, ako spoľahlivo vyčísliť π, ktoré sú bližšie ideálnemu svetu, v ktorom π žije, než naše hrubé pokusy.
stvorec
Nakreslime si štvorec zo stranou dĺžky 2 a doňho vpísaný kruh. Ľahko môžeme nahliadnuť, že obsah štvorca je 4 a obsah kruhu π. A teraz príde tá zaujímavá časť – zavesíme si obrázok na stenu. Budeme totižto hrať šípky s našim štvorcom ako terčom. Tu nastúpi moja nešikovnosť. Naozaj neviem hrať šípky, no vždy aspoň trafím terč (čo síce nie je úplne pravda, no dovoľte mi to aspoň teraz tvrdiť). V rámci terča však triafam úplne náhodne. Čo tým myslím? Pravdepodobnosť, že trafím nejaký konkrétny kúsok tohto štvorca je priamo úmerná obsahu toho kúsku a pravdepodobnosť, že sa trafím niekam do štvorca je rovná jednej. Skrátka, nestavili by ste si na mňa.

Teraz vás naučím jednu hazardnú hru. Určite už tušíte akú – volá sa „vyčísľovanie π.“ Nie je síce veľmi zábavná, no skoro určite vyhráte. Prebieha takto:

  1. Hádžem šípky na terč
  2. Hádžem veľa šípok na terč
  3. Hádžem VEĽMI veľa šípok na terč
  4. Zrátam, koľko šípok dopadlo do kruhu
  5. To vydelím celkovým počtom šípok
Bez názvu

Očakávame, že pomer, ktorý dostaneme ako výsledok hry sa bude blížiť pomeru obsahov kruhu a štvorca, teda k π/4. A keď budeme hádzať dosť veľa krát, tak zákon veľkých čísel nám hovorí, že s veľkou pravdepodobnosťou to bude pravda.

Čo sme to vlastne robili? Zisťovali sme obsah kruhu (presnejšie, pomer obsahu kruhu a štvorca) pomocou náhodného výberu bodov. Tomuto spôsobu výpočtu sa hovorí metóda Monte Carlo.  Svoje meno dostala podľa mesta známeho kasínami.

Zjavnou nevýhodou metódy Monte Carlo je náhodnosť, ktorá je jej základom. Šikovní matematici sú však zvyčajne schopní povedať, s akou pravdepodobnosťou je takýto výpočet dostatočne presný. Navyše, táto metóda nie je len zaujímavá kuriozita. Rátajú sa ňou skutočné problémy z fyziky aj z praxe, na ktoré často nie je možné použiť iné metódy.

Na záver, ak si myslíte, že toto je naozaj zvláštna metóda rátania π, tak to ste ešte nepočuli o pánovi Buffonovi, ktorý robí niečo obdobné hádzaním ihiel na pásikavú podlahu.

Ako teda vyčísľovali π starí páni? Poďme na návštevu do antických Syrakúz, pozrieť sa, ako to robil Archimedes. Nakreslil kruh a k nemu vpísaný a opísaný pravidelný šesťuholník. Všimnite si, že vpísaný šesťuholník má obvod menší, ako kruh a opísaný väčší (skúste si predstaviť tie čiary ako pružné gumičky – strany vpísaného šesťuholníka viete natiahnuť až na oblúky kružnice nad nimi a podobne viete oblúky kružnice natiahnuť na opísaný šesťuholník). Keďže vedel vyrátať obvod oboch šesťuholníkov, tak vedel ohraničiť obvod kruhu (a teda aj číslo π) zhora aj zdola. To isté potom robil postupne s 12-uholníkom, 24-uholníkom, 48-uholníkom a tak ďalej. Týmto dostával stále lepšie odhady. Známa približná hodnota 22/7 pochádza z horného odhadu zostrojeného pomocou pravidelného 96-uholníka.

archimedes

Obrázky boli vytvorené za pomoci web.geogebra.org, MS Word, skicára a mojich úžasných schopností.

 

Teraz najčítanejšie

Pavol Vidlička

Som študent matematiky na FMFI UK, ktorý sa snaží svoj záujem o ňu sprostredkovať aj iným.