Staré kosti, dve kozy a nový Cadillac

Napriek prvému dojmu titulok nevznikol náhodnou voľbou slov, aj keď by sa to k článku hodilo. Budeme rozprávať o teórii pravdepodobnosti. Povieme si niečo o jej počiatkoch a prečo si treba dať pozor na „zjavné“ veci.

K pravdepodobnosti neodmysliteľne patrí hazard. Ten je podľa všetkého takmer taký starý ako ľudstvo samé. Prezrádza to dokonca aj naše slovo „kocka.“ Pôvod má v slove kosť, čo naznačuje, z čoho sa prvé kocky zvykli vyrábať a doteraz v niektorých častiach sveta vyrábajú. Bolo len otázkou času, kedy sa niekto začne zaoberať presným uchopením Šťasteny.
Počiatky teórie pravdepodobnosti sa viažu ku korešpondecii matematikov Cardana, Fermata a Pascala v polovici 17. storočia. Pýtam sa, prečo až tak neskoro? Prečo je Pytagorova veta o štvorcoch a nie kockách, keď je hazard taká stará zábavka?

Kedy ste však naposledy počuli o gamblerovi, ktorý si rátal pravdepodobnosti a triezvo zhodnocoval svoje šance? Samozrejme, ľudia si dávno všimli, že niektoré výsledky sú pri hode kockami pravdepodobnejšie ako iné, ale aj tak sa určite zhodneme, že pravdepodobnosť, že padnú tri šestky musí byť predsa menšia, ako tá, že padnú tri dvojky. Že nie? To ste asi nikdy nepotrebovali, aby vám tri šestky padli .

Starí páni matematici sa snažili oslobodiť pravdepodobnosť od hráčskych emócii a postaviť ju na pevné základy. Príkladom takého postupu je Laplaceova schéma (známa zo strednej).

Jej základom je správne identifikovať základné možné udalosti a pravdepodobnosti, s akými nastávajú. Patrilo by sa, aby to zodpovedalo skutočnému svetu. Napríklad na kocke môžu padnúť číslo od 1 po 6, každé s pravdepodobnosťou 1/6. To je dobrý model skutočnosti.

Pri zložitejších úlohách sa však situácia komplikuje. Čo keď hádžeme dvomi kockami? Postupujme po vzore situácie s jednou kockou. Súčet padnutých čísel, preto od 2 po 12. To je jedenásť možností, každá teda nastáva s pravdepodobnosťou 1/11. Samozrejme, v tejto chvíli všetci s úškrnom krútite hlavami – tak to predsa nie je! Táto prvoplánová úvaha je, samozrejme, chybná. Na správne riešenie však nepotrebujeme nič iné ako náš zabehnutý model hodu jednou kockou a malú úvahu. Vidíme, že pri zložitejších úlohách si treba dať pozor. Ľahko sa dajú urobiť na prvý pohľad zjavné závery, ktoré sú úplne nesprávne.

Ako príklad použijem  Monty Hallovovu úlohu, pomenovanú podľa moderátora populárnej americkej televíznej súťaže Let’s make a deal. Predstavte si, že ste súťažiaci, ktorý má pred sebou trojo dverí – za jednými je nový nablýskaný Cadillac a za zvyšnými dvomi sú kozy. Predpokladajme, že súťažiaci nemá záujem vyhrať kozu (ak by mal, bolo by treba jednu kozu a dve autá).

Hráč si vyberie jedny z dverí, povedzme, že dvere číslo jeden. Vtedy k nemu pristúpi moderátor s úsmevom perfektne prezentujúcim jeho dokonalý chrup. Ten za dverami číslo dva odhalí kozu. Potom sa spýta diabolskú otázku: „Chceli by ste zmeniť svoj výber dverí?“ Úlohou je poradiť súťažiacemu, či sa mu oplatí zmeniť svoj výber, alebo nie.

Keď som svojho času túto úlohu dostal ja, rýchlo som odpovedal: „veď to je jedno, aj tak to je 50/50.“ Očká zadávateľa zažiarili jasnejšie ako 100W žiarovky – nechal som sa nachytať. Správnou odpoveďou je, že sa oplatí zmeniť výber – šanca vyhrať sa tým zvýši z 33% (nie z 50%) na 67%! Nebol som však jediný, kto sa nechal nachytať – táto otázka sa objavila v roku 1990 v časopise Parade. Čitatelia – veľká časť z nich s vysokoškolským vzdelaním – zaplavili redakciu listami, v ktorých tvrdili, že v časopise prezentované riešenie musí byť nesprávne. Aj slávny maďarský matematik Pál Erdős, známy ako jeden z najplodnejších matematikov v histórii (bol autorom alebo spoluautorom viac ako 1500 vedeckých článkov), vraj správnej odpovedi neveril, lebo sa priečila intuícii. Presvedčila ho až počítačová simulácia, ktorá tých 67% potvrdila (vyskúšajte si ju tu).

V čom je teda v Monty Hallovej úlohe pes zakopaný? Vyrátajme si pravdepodobnosť, že na prvý raz trafíme nové auto. Je to 33% – odhalenie, že v jedných z dverí dva a tri je koza, na tom nič nemení. Zastavme sa teraz pred momentom, keď moderátor odhalí, kde je koza. Vieme povedať, že Cadillac je za našimi dverami s pravdepodobnosťou 33% a v jedných zo zvyšných dvoch s pravdepodobnosťou 67%.  Odhalením kozy nám len povie, že v jedných dverí dva a tri je koza – to sme však vedeli aj tak. Zmenou dverí nám teda moderátor dáva možnosť vybrať si namiesto dverí číslo jeden OBE z dverí dva a tri.

Ak vás moje vysvetlenie neuspokojilo, ľahko sa dá dopátrať k technickejším (a presnejším) vysvetleniam.

Týmto príkladom som sa snažil ilustrovať, prečo sa neoplatí spoliehať na intuíciu (respektíve prvý nápad, čo mozog vyprodukuje) a vždy treba úlohu z pravdepodobnosti podrobne analyzovať. Starí páni zo začiatku článku vydláždili takýmto analýzam cestu a aj vďaka nim sa dnes dá teória pravdepodobnosti využiť pri zaujímavých veciach, ako napríklad na experimentálne vyčísľovanie π, no aj na mnoho užitočných úloh.

Obrázky som čerpal z http://www.letsmakeadeal.com/ a vytváral pomocou web.geogebra.com.