Denník N

Vymyslené čísla

Môže byť niečo imaginárne, nereálne a skutočné zároveň? Matematici vedia.

Každému je jasné, čo je číslo. Je to niečo, čo označuje počet (technicky vzaté teda telefónne číslo nie je číslo). Máme dve jablká, päť dní a tri sliepky. S číslami bežne robíme dve veci: sčítavame ich a násobíme. Ak máme tri sliepky a kúpime ďalšie dve, máme ich päť. Ak máme päť sliepok a každá znesie dve vajíčka, akurát naplnia desaťmiestny obal (vajíčka, nie sliepky, tých bude stále päť). Čísla, ktoré označujú počet, voláme prirodzené.

Keď sa čísla dajú spočítať, mali by sa dať aj odčítať. Ak máme päť sliepok a tri prídeme, ostanú nám dve. Ak túto operáciu spravíme v opačnom poradí, dostaneme zdanlivo absurdný výsledok: tri sliepky bez piatich sú mínus dve. Pri peniazoch na účte to znie trochu rozumnejšie – ak máme na účte 600 Eur a minieme 1000, musíme 400 doložiť, aby sme boli na nule. Záporné čísla si tak vieme predstaviť ako „koľko musíme doložiť, aby sme nemali nič“. Prirodzené čísla doplnené o ich záporné hodnoty (a nulu) voláme celé.

Tak ako je opačnou operáciou k sčítaniu odčítanie, tak je opačnou operáciou k násobeniu delenie. Ak chceme desať vajíčok a máme päť sliepok, každá musí zniesť dve. Interpretačné problémy by nastali, ak by sme sliepok nemali päť, ale iba tri – každá z nich by musela zniesť desať tretín vajíčka. Ak by sme im toto číslo chceli napísať na stenu kurníka, problém by mali nielen sliepky, ale aj my. Desať tretín sa nedá zapísať v desatinnom zápise, obsahuje totiž nekonečne veľa trojok: 3,333333… Čísla, ktoré vieme vyjadriť ako zlomok celých čísel, voláme racionálne.

Zoznam čísiel tým nekončí. Stále sme nikam nezaradili populárne π (pí) ani odmocninu z dvoch či troch, a vlastne ani nekonečne veľa ďalších čísiel. Ak ich všetky na zoznam pridáme, dostaneme čísla, ktoré voláme reálne. Existujú aj ďalšie kategórie čísel, no týmto smerom sa teraz vydať nechceme. Stačí, keď si zapamätáme, že existujú rôzne čísla, a aj keď na počítanie sliepok slúžia len prirodzené, užitočné vedia byť aj ostatné.

Podobným spôsobom (cez matematické operácie) zaviedli matematici aj ďalší druh čísel. Hovorí sa im trochu nešťastne – imaginárne. Ich definičnou vlastnosťou je, že ak prenásobíme dve rovnaké imaginárne čísla, výsledok bude záporné reálne číslo. Toto reálne čísla nikdy nedokážu, 2 x 2 = 4, (-3) x (-3) = 9. Prenásobením reálneho čísla sebou samým teda dostaneme vždy nezáporný výsledok. Imaginárne číslo, značí sa písmenom i, spĺňa jednoduchú požiadavku i x i = -1. Ak máme tri imaginárne sliepky a každá z nich znesie dve imaginárne vajíčka, dokopy budeme mať mínus šesť vajíčok (takže ich musíme šesť doplniť, aby bol obal prázdny – interpretácia znovu pokrivkáva).

Ak sčítame imaginárne číslo s reálnym, dostaneme tzv. komplexné číslo: napríklad 2 + 3i. Keď študenti prvý raz počujú o komplexných číslach, väčšinou si klopú na čelo: to má byť sranda? Keď sa im predvedie pár aplikácií a celostranové výpočty sa scvrknú na pár riadkov, zrazu sú s nimi všetci dobrí kamaráti. Priama interpretácia ako počítanie sliepok nefunguje, no rozumieme im matematicky (i x i = -1) a to nám na ich používanie stačí (tak ako matematicky rozumieme tomu, čo sú – 4/3 alebo π/2).

Komplexné čísla sú nielen užitočné, ale aj pekné. Objekt na videu sa volá Mandelbrotova množina, respektíve fraktál, čo je objekt s donekonečna sa opakujúcou štruktúrou. Po minútach fascinovaného sledovania videa ľahko nadobudneme pocit, že niečo takto zložité muselo byť neuveriteľne ťažké zostrojiť. Opak je pravdou, všetko je zakódované v úplne jednoduchom vzťahu pre komplexné čísla (viď. poznámku pod čiarou).

Mandelbrotov fraktál. Každý bod odpovedá inému komplexnému číslu, farba označuje jeho správanie v istej jednoduchej (rekurentnej) rovnici.

Na príbehu komplexných čísiel sa odráža fungovanie celej matematiky. Tá skúma objekty, ktoré sa často zdajú byť odtrhnuté od reality, no zrazu sa objavia bohaté aplikácie a hlboká vnútorná krása. Môj učiteľ komplexnej analýzy o nej hovoril ako o niečom živom. Imaginárne čísla, ktoré sme si predstavili, sú užitočné aj krásne. Čo viac chceme, aby sme ich považovali za skutočné?


Poznámky pod čiarou:

1. To, že príroda ma kladný vzťah k imaginárnym číslam, naznačuje aj prítomnosť imaginárnej jednotky iSchrödingerovej rovnici.

2. Ako si nakresliť Mandelbrotov fraktál:

Predstavte si takúto hru: vyberte si číslo, napríklad 2. Umocnite ho a pripočítajte k sebe 2 x 2 + 2 = 6. Zoberte výsledok, umocnite ho a znovu pripočítajte 2 – dostanete 6 x 6 + 2 = 38. Ak spravíte ešte pár krokov, výsledok začne šialene rásť. Matematický zápis tejto hry je: (nové číslo) = (staré číslo) x (staré číslo) + (počiatočné číslo). Môžete si to skúsiť pre pár počiatočných hodnôt, výsledky vám pravdepodobne uletia. Nemusí to tak byť vždy – skúste začať s číslom -1. Hra začne byť zaujímavá, ak sa rozhodnete začínať s komplexným číslom – výsledok niekedy uletí, ale niekedy sa začne pekne točiť dokola.

Táto hra je návod na peknú omaľovanku. Zoberte si štvorčekový papier, horizontálny smer bude udávať hodnotu reálneho čísla (napríklad 2), vertikálny hodnotu imaginárneho (napríklad 3i), vybraný štvorček tak bude odpovedať komplexnému číslu (napríklad 2 + 3i). S týmto číslom začnete hrať a budete sledovať, po koľkých krokoch prekročí veľkosť 2 – v takom prípade je už isté, že jeho hodnota uletí preč (verte mi). Ak sa to stane po 1 kroku, označíte ho žltou, ak po dvoch, oranžovou atď. A ak sa sa tak nestane nikdy, políčko ostane čierne (vo videu sú čierne aj nezaujímavé body, ktoré uletia zas veľmi skoro). A takto vzniká Mandelbrotov fraktál. Farba bodov určuje, ako rýchlo nám pri danom čísle hra prekročí vybranú hranicu.

Fascinujúce na tom je, že akokoľvek nepatrne zmeníte výber počiatočného bodu, výsledok bude nepredvídateľný. V hre sa mieša poriadok (opakujúce sa štruktúry) s chaosom (nevieme presne povedať, aká štruktúra bude nasledovať).

Teraz najčítanejšie

Samuel Kováčik

Absolvent teoretickej fyziky na Bratislavskom Matfyze, momentálne pôsobiaci na výskumnom inštitúte v Dubline.