Denník N

Čo so zvedavým študentom?

Zahrajte sa na učiteľa matematiky a rozhodnite sa, ako naložíte so zvedavým študentom. Čaká vás pedagogické rozhodnutie. Osud chlapca je vo vašich rukách.

Hodina s prvákmi. Už si ani nepamätám ako presne, ale reč sa ubrala k otázke, aké rôzne číselné množiny vlastne rozlišujeme. Všetci poznajú prirodzené čísla (N):

t01f

A keď sa pridajú tie k nim opačné a nula, dostávame celé čísla – Zahlen, Z. Nejedno dieťa ich objavilo práve túto zimu, keď mrzlo:

t02f

Dá sa predstaviť si ešte niečo iné ako racionálne čísla, ktoré zahŕňajú všetky možné podiely (quotient – Q) celých čísel? Väčšina mojich študentov ku koncu štúdia dokáže akékoľvek číslo s nekonečným periodickým desatinným rozvojom prepísať ako zlomok.

rac_zlom

A samozrejme, aj každé číslo s konečným počtom cifier. Takže racionálnymi číslami (Q) ide popísať snáď úplne všetko…

t03f
Racionálnych čísel je fakt veľa – niektorí študenti si to zvyknú uvedomiť pri myšlienke, že medzi akýmikoľvek dvoma existuje ich aritmetický priemer a to je tiež racionálne číslo:

 

priem

Racionálne číslo môže mať hocikoľko desatinných miest, dokonca aj nekonečne veľa (ak má periódu). A aj tak ho poľahky zapíšeme ako podiel dvoch celých čísel:

uprava

Každému, kto dobre pochopil a pred svojím duševným zrakom uvidel možnosti, ktoré ponúkajú racionálne čísla je jasné, že žiadne iné snáď pre akékoľvek praktické účely ani netreba. Úplne rozumiem starovekým matematikom, ktorí existenciu iných čísel ani neočakávali. Úplne chápem, že chudáka Hippasa zabili, keď im ukázal, že dĺžka uhlopriečky štvorca sa ako podiel celých čísel zapísať ne… čo, zabili? Aha, našťastie je to apokryfný príbeh, vraždu kvôli blbému číslu by som nepochopil.

Na konci hodiny teda na tabuli stál kompletný obrázok – všetky reálne čísla sa dajú rozdeliť do dvoch chlievikov – racionálne a iracionálne (I). Zopár študentiek s pekným zošitom si ešte ukrojac z prestávky zapísalo, že tie iracionálne sa fakt nedajú napísať ako podiel 2 celých čísel a že ich dekadický zápis by rozpoznali podľa toho, že by obsahoval nekonečne veľa cifier bez periódy.

t04ff

Už som fakt musel bežať. Na chodbe ma ale zastavil chlapec – asi najnižší prvák, akého som kedy učil a tenkým hláskom vzrušene predniesol svoju naliehavú otázku:

„Pán učiteľ, na tej tabuli ale ešte ostalo kopa miesta.“
„Nó… a čo?,“ nechápal som.
„No… nie sú tam okolo nejaké ďalšie číselné množiny? Môžeme si byť nejak istí, že iné ako reálne čísla už neexistujú?“

Usmial som sa. Čo mám robiť?

Hlavou mi prebehli tieto možnosti (vyberte si):

A. (učiteľ entuziasta) S radosťou som prijal jeho nadšenie a pustil som sa do vysvetľovania komplexných čísel. Nestihol som skočiť pred ďalšou hodinou síce na záchod, a aj študent prišiel na slovenčinu trochu neskoro, ale ospravedlnil som ho a mladý nadšenec je podchytený. To je dôležitejšie než moje telesné potreby a pár minút slovenčiny.

B. (učiteľ priateľský realista) „Skvelá otázka. Máš pravdu, ďalšie čísla veru existujú a neuveríš, keď ti poviem, čo sú zač. Zastav sa po škole, hodíme reč.“ Po škole som mu okrem krátkeho úvodu požičal aj knižku a poslal pár linkov na youtube videá o Bombellim, komplexných číslach a fraktáloch.

C. (lenivý mystik) „Vieš si snáď nejaké iné čísla predstaviť?,“ pýtam sa.
„Neviem – ako by mohli nejaké iné čísla vyzerať?“
„Čo ja viem, vieš si predstaviť napríklad také číslo, ktorého druhá mocnina by bola mínus štyri?,“ odpovedám a hanbím sa, že bez fantázie mierim rovno sem.
„Nie,“ odvetil.
„Ani ja. No vidíš. Musím bežať, maj sa dobre, vidíme sa zajtra,“ uzatváram debatu a bežím na záchod – o 6 minút začína ďalšia hodina a ešte som chcel nakopírovať zadania.

D. (motivátor filozof) „Ako sa to vezme. Existujú vôbec nejaké čísla? Dajme tomu tie prirodzené – ty si niekedy niekde videl trojku? Nastúpil si do autobusu a tam na sedadle pre invalidov sedela ošúchaná osmička?“
„Nie,“ zasmial sa.
„Ani ja. Čísla neexistujú. Takže číselných množín si môžeš navymýšľať koľko chceš – v skutočnosti neexistuje žiadna a všetky môžu existovať v tvojej hlave, ak ich vymyslíš dobre. Väčšinou ide hlavne o to, ktoré sú ti na niečo užitočné. Vidíš, že racionálne čísla sú fajn a je racionálne s nimi počítať. S 3,14159265 perfektne spočítaš obvod Zeme s odchýlkou menšou, než 1 meter. Ak sa budeš venovať matike alebo fyzike, možno niekedy nakoniec budeš chcieť spočítať aj niečo také, kde ti nebudú stačiť ani tie reálne a začneš počítať s nejakými inými.“
„A aké sú to?“
„Študuj, možno sa časom dozvieš.“

E. (vyhorený pragmatik) „Žiadne ďalšie čísla, ktoré by si dokázal pochopiť neexistujú,“ odvetil som stručne a pobral sa do kabinetu, aspoň na dve minúty si oddýchnuť pred ďalšou hodinou.

Jedna z týchto možností sa skutočne odohrala. Uhádnete, ktorá? A čo by ste spravili Vy?

Viac radosti a pokrmu pre mozog nájdete na matike za 3 minúty na youtube alebo na facebooku.

Teraz najčítanejšie

Rasťo Halamiček

Učím matiku na Bilgyme. Mám 3 deti, manželku Miriam a strach zo smrti. Matematické myslenie umožňuje zažiť špecifický druh estetického zážitku a zábavy a ja sa snažím toto evanjelium šíriť ďalej.