Ako sme zmapovali dno oceánov? Z vesmíru

Predstavte si, že chcete zmapovať dno jazera, napríklad Zlatých pieskov. Najjednoduchšie je najať skupinu potápačov a nechať ich brázdiť dno. Pri veľkých jazerách, napríklad Balatone, začne byť postup potápačov pomalý, treba ich vymeniť za rýchlejšie lode so sonarmi. Na zmapovanie oceánov nestačia ani tie, odhadom by potrebovali celé storočie. Aj napriek tomu sme to už stihli – pomocou družíc na orbite.

Nápad skúmať dno oceánu z vesmíru znie, slušne povedané, nelogicky, no v skutočnosti je geniálny. Družice sa pohybujú obrovskými rýchlosťami a stihnú tak zmapovať dno oceánov oveľa rýchlejšie ako lode, či nebodaj potápači. Ako sa dá zmerať hĺbka mora z výšky stoviek kilometrov? Poďme si to vysvetliť pomocou planétky B-612 a Malého princa, ktorému spadla tenisová loptička.

Čo by sa stalo, ak by mu vypadla ešte jedna? Aj keby dopadla rovno na prvú, skotúľa sa a zastaví niekde vedľa. Intuitívne tomu rozumieme, fyzikálne vysvetlenie je také, že presunom nižšie zmenšila loptička svoju potenciálnu energiu. Ak začne Malý princ prihadzovať ďalšie a ďalšie loptičky, postupne zaplnia celý povrch planéty, jedna vedľa druhej, všetky s rovnakou potenciálnou energiou. Keď sa prvá vrstva zaplní, začne vznikať druhá, kde majú znovu všetky lopty rovnakú potenciálnu energiu, po druhej tretia, atď.

Situácia bola zatiaľ jednoduchá vďaka tomu, že sme sa tvárili, že je planétka B-612 dokonale guľatá, čo ak sú na nej aj nerovnosti? Nastal čas odtajniť skrytú časť obrázku, je na nej malý kopček – budú ho loptičky obtekať, alebo vystúpia naň? Situácia je zložitejšia ako by sa mohlo zdať, kopček má totiž vlastnú gravitáciu a loptičky sa snažia mať čo najmenšiu potenciálnu energiu voči planéte a kopčeku naraz.

Kopček je trochu malý na to, aby sme mohli voľným okom odpozorvať čo budú loptičky robiť a tak spravme na B-612 drastickejšie stavebné úpravy – v jednom prípade z nej veľkú časť vyrežeme, v druhom k nej rovnako veľkú časť prilepíme.

Aj keď nám intuícia našepkáva, ako sa po týchto planétkach loptičky rozložia, presné riešenie získame pomocou matematiky. Z príkladu s guľatou planétkou už vieme, že treba pohľadať také plochy, na ktorých budú mať všetky loptičky rovnakú potenciálnu energiu. Odborne sa volajú ekvipotenciálne hladiny, no môžeme ich volať aj gravitačné vrstevnice.

Znie to možno zložito, no počítač to zvládol skôr, než som vybral vhodné farby. Ak niekoho zaujímajú detaily, nájde ich v poznámkach pod čiarou. Tak či tak, výsledok je nasledovný (stredný obrázok je nesprávny, opravený sa nachádza na konci článku).

Ako tieto obrázky čítať? Všetky loptičky na jednej čiare majú rovnakú potenciálnu energiu. Čím je pás medzi čiarami užší, tým v danom mieste pôsobí silnejšia gravitačná sila (jej smer je kolmý na čiary), no to nás teraz nezaujíma.

Asi je už jasné, že tenisové loptičky sme používali iba ako zjednodušený model pre vodu. Pomocou našich výsledkov tak vieme predpoveď tvar vodnej hladiny na rôznych planétkach – bude odpovedať jednej z gravitačných vrstevníc, pričom čím viacej vody nalejem, tým vyššiu hladinu zaplní. Zatopené planétky tak budú vyzerať napríklad takto.

Aké by ste z obrázkov sformulovali ponaučenie o tom, čo sa stane s morskou hladinou, ak sa na dne objaví priehlbina, alebo kopček? V prvom prípade sa hladina sploští, v druhom zas vyduje. Toto je pre niektorých ľudí intuitívne, pre iných práve naopak (viď poznámka pod čiarou).

Ako dokážu družice merať morské dno? Pomocou satelitu jednoducho odmerajú výšku hladiny oceánu pod sebou. Ak je nižšie ako má byť, nachádza sa na dne priepasť (dá sa určiť aj jej hĺbka), ak je vyššie tak je tam kopec, napríklad sopka. Samozrejme existuje množstvo komplikácií, no dá sa s nimi vysporiadať (napríklad porovnaním s výsledkami, ktoré namerali lode).

Mapovanie morského dna, skúmanie tektonických dosiek, podmorských sopiek či hľadanie ložísk nerastných surovín, toto všetko umožňuje tzv. satelitná altimetria (meranie výšky hladiny). Mapu morského dna nájdete napríklad aj na Google maps, no ešte lepšia je tu. Čiary odpovedajú územiu zmapovanému loďami, zbytok mapovali družice – no uznajte, neušetrili nám kopu roboty?

Poznámky pod čiarou:

1. Matematicko fyzikálna poznámka k obrázkom: v Newtonovej gravitácií (ktorá je na túto úlohu postačujúca) platí princíp superpozície – celkové riešenie je súčtom čiastočných riešení. Potenciál sústavy planétka plus hrbol je súčtom ich individuálnych potenciálov. Pri sféricky symetrických telesách platí, že ich potenciál je daný ako V = – g M / r, kde M je hmotnosť telesa, r je vzdialenosť od jeho stredu a g je konštanta. Vzdialenosť sa počíta pomocou Pytagorovej vety a gravitačné vrstevnice vykreslí počítač (program Mathematica) cez príkaz ContourPlot, napríklad tretí obrázok vznikol takto. Môžete porozmýšlať, že ako vznikol ten druhý.

2. O tom čo spraví kopec na morskom dne s hladinou môže hovoriť intuícia dve protichodné veci: buď okolo neho voda obteká a na hladine vznikne hrbol, alebo extra gravitačná príťažlivosť kopca priťahuje vodu silnejšie a tak vznikne priehlbina.

Oprava:

Pri výpočte vnútornej časti stredného obrázku som spravil chybu, správny obrázok je tu (za upozornenie v diskusii ďakujem)