Denník N

Najabsurdnejší matematický výsledok

Na strednej škole sme mali taký postrach – učiteľku matematiky a fyziky. Mňa neučila, no staršie ročníky rozprávali desivé príbehy. Tie spôsobili, že keď som raz uvidel jej meno na nástenke so suplovaním, zľakol som sa.

Na strednej škole sme taký postrach – učiteľku matematiky a fyziky. Mňa neučila, no staršie ročníky rozprávali desivé príbehy. Tie spôsobili, že keď som raz uvidel jej meno na nástenke so suplovaním, zľakol som sa.

Hodina s ňou nakoniec dopadla dobre, nechala nám voľný program a opravovala písomky. Jediná moja spomienka na ňu je, ako červeným perom škrtá celú stranu a neveriacky si šomre, že ‚‚ako môže niekomu výjsť povrch plochy záporný?”

Ak idete napríklad maľovať, chcete zistiť koľko potrebujete farby a spočítate, že steny v izbe majú celkovú plochu mínus šesť metrov štvorcových, ide o očividnú hlúposť. Predstavte si moje prekvapenie, keď som na záporné plochy narazil pri štúdiu fyziky, prvýkrát na predmete teoretická mechanika. Ukázalo sa, že nejde o žiadnu mágiu – niekedy je užitočné rozlišovať vnútornú a vonkajšiu plochu a jednej z nich sa priradí záporná hodnota (lebo je rozdiel, či ide niečo cez plochu dnu, alebo von).

Poďme sa v takomto duchu – možno to nie je taká hlúposť, ako sa na prvý pohľad môže zdať – pozrieť na najpodivnejší matematický výsledok, aký poznám.

Keď sa povie matematika, veľa ľudí si predstaví sčítavanie čísiel, napríklad 1 + 2 = 3. Jedným zo šokujúcich zistení na strednej škole, aspoň pre mňa, bolo, že môžeme sčítať nekonečne veľa čísiel a výsledok nebude nekonečno. Presnejšie sa jednalo o takýto výpočet: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 2. Matematický dôkaz je jednoduchý, no stále si pamätám kamaráta Joža, ako na obede zahlásil, že mu jednoducho neverí (aj mne to smrdelo, ale veril som!).

Čo by Joža možno presvedčilo, je takýto obrázok. Každý člen si predstavme ako kus pizze. 1 je celá pizza, 1/2 je polovica, atď. Prvý člen je jedna pizza, druhý je polovica z druhej a každý ďalší člen vyplní akurát polovicu z toho, čo nám chýba. Dokopy teda dostávame presne dve pizze.

najabs1

Zdanlivo podobný príklad je 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …, čiže celý koláč, plus polovica, plus tretina, plus štvrtina. Narozdiel od toho predošlého, je teraz výsledok nekonečno – čísla v postupnosti neklesajú dosť rýchlo. So sčítavaním nekonečných radov a zisťovaním, či je výsledkom konečné číslo, alebo nekonečno, súvisí veľa zaujímavej matematiky.

Pri písaní o vede platí jednoduché pravidlo, čím fascinujúcejší výsledok, tým väčšia čítanosť. Vysvetliť, o čo ide, je často až druhoradé. Toto môže byť z pohľadu popularizácie vedy kontraproduktívne. Napríklad, ináč fajn stránka Startitup nedávno zverejnila obrázok tvrdiaci, že fyzici spočítali, že Zemské jadro je o pár rokov mladšie, ako povrch. Asi to bude pravda (neviem, ja som si to nespočítal), no aby z toho čitateľ niečo mal, treba aj vysvetliť ako je to možné a povedať niečo rozdielnom plynutí času v gravitačnom poli. Takto to totiž akurát budí dojem, že vedci môžu povedať úplne hocičo a z nejakého uhlu pohľadu to bude pravda. No a to potom osmeľuje ľudí tvrdiť hocičo a prehlasovať to za vedu.

No ale späť k nekonečným radom. Jeden z nich je totiž dokonalým príkladom toho, že matematici môžu tvrdiť hocičo a naozaj im to prejde. Ide o niečo, čo sa volá Ramanujanov súčet. Ramanujan asi nebol prvý, ktorý na neho narazil, no bol prvým, kto poznamenal, že ide o nápad hodný blázinca – posúďte sami.

najabs2

No čo poviete, sčítate všetky čísla od 1 pod nekonečno a výsledok má byť niečo málo pod nulou? Hocijaké konečné číslo by bolo nezmysel, záporné znamienko je len takou čerešničkou na torte.

Ako na takýto výsledok matematici prišli? Rôznymi spôsobmi, no nie som ten správny Samuel, aby som si to mohol dovoliť vložiť do blogu, a tak zvedavého čitateľa aspoň nasmerujem, ide o: manipulácia radu, Zeta regularizácia, exponenciálny útlm. Znie to riadne bosorácky, že? Zaujímavé je, že všetky, aj keď úplne odlišné, postupy dávajú ten istý výsledok. Žeby na tom predsa len niečo bolo?

Čo na túto podivnosť vraví fyzika? Tento výsledok sa v nej objavuje tiež, napríklad v počítačových simuláciách a tie ho potvrdzujú. No dobre, počítačové simulácie – čo ale vidíme v prírode? Blízky príbuzný súčet, ktorý je prakticky rovnako absurdný, je

najabs4

No a tento sa objavuje v merateľnej fyzike, tzv. Casimirovom efekte a príroda sa s týmto výsledkom stotožňuje! Ako je to možné?

Správny spôsob, ako sa na túto rovnicu pozerať je

najabs3

Toto už znie uveriteľne, súčet všetkých prirodzených čísiel je nekonečno – presne ako by sme čakali, mínus 1/12, čo asi čakal málokto. Trochu mi to pripomína ten vtip, kde premiér oznámi, že treba prepustiť tisíc továrnikov a jedného zmrzlinára. A keď sa novinár opýta, že prečo prepustili zmrzlinára, tak premiér odpovie, že aby sa ľudia pýtali na neho a nie na továrnikov. -1/12 je zmrzlinár, ktorému sa venuje toľko pozornosti, že sa na továrnikov úplne zabudlo. A v tomto prípade to má dobrý dôvod.

Je užitočné tú – 1/12 dávať bokom, vysvetlím prečo. Sčítavať nekonečne veľa rastúcich čísiel nie je veľmi zaujímavé (súčet bude nekonečno), skúsme z nich postupne ukrajovať po percente

najabs5

Čiže tisíci člen teraz nie je 1000, ale 1000 tisíckrát zmenšené o percento, čiže cca 0.0431712.

Aký bude súčet tohto radu? Bude to veľké číslo – 1/12.

Ak by sme neukrajovali 1 percento, ale len tisícinu percenta, tak bude výsledok VEĽKÉ ČÍSLO – 1/12. No a keď neuberáme nič, tak je výsledok ∞ – 1/12.

Fyzikálne je separovanie -1/12 ešte prirodzenejšie. Pri fyzikálnych procesoch nie je dôležitá celková veľkosť energie, ale veľkosť jej zmeny – koľko jej ubudlo, alebo pribudlo. No a ∞ prispieva do konštantnej časti energie, ktorá sa nijak nemení a k fyzikálnym dejom neprispieva. Na druhej strane, – 1/12 prispieva do tej “živej” časti.

Zdanlivo chybný výsledok teda v skutočnosti dáva zmysel a dokonca sa v ňom ukrýva veľa zaujímavého. Len bez vysvetlenia, ktoré môže byť niekedy zložité, ostane navždy iba nezmyselnou absurdnosťou.

Články a blogy o vede nájdete na FB stránke Vedátor.

 Zdroj il. obrázku: Hubblov teleskop.

Teraz najčítanejšie

Samuel Kováčik

Absolvent teoretickej fyziky na Bratislavskom Matfyze, momentálne pôsobiaci na výskumnom inštitúte v Dubline.