Viete, ako funguje dúha?

Samozrejme som poznal jednotlivé ingrediencie ako disperziu, odraz či lom svetla, no nejako ma nič nedonútilo to všetko pospájať dokopy. Zmenilo sa to nedávno, polieval som záhradu a nechtiac sa mi podarilo vytvoriť dúhu, dokonca dvojitú. Podmienky boli ideálne a tak som sa pokúsil vytvoriť aj tretiu, no nedarilo sa mi.

Po chvíli ma to omrzelo a ukončil som to s tým, že trojitá dúha je nemožná. No a potom prišla otázka: prečo? A prečo je druhá dúha oproti prvej otočená naopak? A prečo je pás medzi nimi taký tmavý?

Písanie o vede často zahŕňa nové fantastické objavy a vynálezy, fotky vzdialených galaxií, či drobných nanočastíc. Veda je ale hlavne o niečom inom – je o porozumení svetu a tak by okrem jéééj momentov mala obsahovať aj ahááá momenty, kedy diely skladačky zapadnú a niečomu poriadne porozumieme. Poďme sa pokúsiť o ahááá moment pri dúhe (ktorý by mal okoreniť všetky nasledujúce jéééj, ktoré pri nej zažijete).

Keď svetlo dopadá na rozhranie vzduchu a vody, malá časť z neho sa odrazí a väčšia časť prejde. Svetlo je odrazené pod rovnakým uhlom, pod akým prišlo, no to, čo prejde, sa mierne zlomí. Svetlo rôznych vlnových dĺžok, a teda rôznych farieb, sa láme pod mierne inými uhlami a tak dochádza k rozloženiu svetla na jednotlivé farebné zložky.

Najjednoduchšie vysvetlenie dúhy by bolo, že sa svetlo odráža z povrchu kvapiek. No keďže všetky farby sa odrážajú rovnako (ale lámu rôzne), len pri odraze by nedošlo k rozloženiu svetla na jednotlivé farby.

Prvá dúha vzniká tak, že svetlo vojde do kvapky, pričom dôjde k lomu a rozloženiu na farby, odrazí sa na zadnej stene a znovu víde von. Kým sa dostaneme k tomu, že pod akým uhlom svetlo kvapku opustí, ujasnime si dôležitú vec – aký tvar majú kvapky? Asi mnohých prekvapí, že nie kvapkovitý (slzičkovitý). Malé, zhruba milimetrové, kvapky sú guľaté, väčšie sú zdola trochu sploštené, ešte väčšie pripomínajú okrúhle bochníky. Dúhu tvoria práve tie malé, takmer guľaté, kvapky.

Lúče vychádzajú z kvapky rôznymi smermi, závisiac od toho, kadiaľ do nej vošli. Úlohou je nájsť uhol γ, ktorý zviera prichádzajúci a odchádzajúci lúč, ak vošiel do kvapky pod uhlom α. Výpočet nie je zložitý, treba si trochu pokresliť, aplikovať zákony odrazu a lomu, uvidieť tie správne trojuholníky, výsledkom je takýto graf.

Ako ho čítať? Prichádzajúci a odchádzajúci lúč svetla, ktoré vošlo do kvapky pod uhlom 55º bude zvierať uhol 42º. Všimnite si, že graf má maximum (v bode 59º s hodnotou 42.5º), existuje najväčší možný uhol (pri jednom vnútornom odraze), aký môžu lúče zvierať.

Všimnite si jednu zaujímavú vec – kým ďaleko od maxima je krivka na grafe pomerne strmá, v jeho okolí sa jej hodnota mení iba pomaly. Čo z toho vyplýva? Že veľa lúčov dopadajúcich zhruba pod uhlom 59º sa odrazí tým istým smerom, napríklad všetko čo dopadne medzi uhlami 55º a 65º sa bude zvierať uhol 42º ± 1/2º. Kvapka teda nielen otočí svetelné lúče, no zároveň ich skoncentruje do jedného smeru – daného práve hodnotou maxima 42º.

Body Slnko-kvapka-oko tak zvierajú uhol 42º. Aký geometrický útvar tvoria všetky body, ktoré vzhľadom na Slnečné lúče vidíme pod týmto uhlom? Odpoveď je kúžeľ (z ktorého je zväčša polovica pod zemou). Z pohľadu pozorovateľa ale (pol)kužeľ vyzerá ako (pol)kruh, skúste odkosnúť koniec z kornútka a priložiť si ho k oku.

Celá diskusia za zatiaľ týkala iba jednej farby, v čom sa líši pre ostatné? Rôzne farby sa lámu pod trochu inými uhlami a tak bude pre ne graf opisujúci otočenie lúčov mierne posunutý.

Ako vidíte, diskusia môže prebiehať rovnako pri každej z farieb, s jediným rozdielom, že poloha maxima grafu, a teda uhol pod ktorým vidíme danú farbu, sa mierne zmení. Výsledky pre jednotlivé farby sú zhruba 41.21º, 41.50º, 42.08º, 42.23º, 42.37º, 42.52º. Predstavte si teraz červerný kornútok, v ňom oranžový, žltý, zelený, modrý a fialový, každý trošku užší – vykusnete koniec a priložíte k oku – toto je dúha! Dúha sa tak nenachádza ako oblúk na jednom mieste, oko ju ale tak vníma a mozog ju vyprojektuje na pozadie za ňou, napríklad oblohu. Preto sa aj javí taká obrovská. Samozrejme, svetlo nemusí prichádzať z celého kornútka, stačí iba z časti (kde zároveň prší a svieti svetlo).

Druhá dúha vzniká z kvapiek, v ktorých sa lúče odrazia dva krát. Otočenie svetla je také veľké, že uvidíme práve tie z nich, ktoré do kvapky vošli zdola a vylietajú z hornej časti, no smerom dole.

Ako bolo spomenuté skôr, viacej svetla preniká, ako sa odráža a tak dvojodrazová, teda sekundárna, dúha bude menej viditeľná, ako primárna. Ináč je postup výpočtu veľmi podobný, len treba nanovo preskúmať geometriu odrazu. Výsledný graf pre všetky farby vyzerá takto.

Jednotlivé farby vidíme pod uhlami 52.45º, 51.93º, 50.89º, 50.63º, 50.37º, 50.10º. Znovu si môžeme predstaviť povkladané kornútky, no teraz bude ten vnútri červený a ten vonku zas fialový – sekundárna dúha je otočená naopak!

A čo ďalšie dúhy? Dalo by sa pokračovať aj ďalej, no nemá to zmysel – ďalšie dúhy už potrebujú toľko vnútorných odrazov (a ešte k tomu pod malými uhlami), že sú výsledné lúče veľmi slabé. Kto neverí a chce si to skúsiť, môže sa pohrať s týmto simulátorom.

Posledná otázka – čo ten tmavý pás? Volá sa Alexandrov a nachádza sa medzi primárnou a sekundárnou dúhou. Čo sme si všimli pri grafoch uhlov otečenia? Že existuje najväčší možný uhol, ktorý môžu lúče zvierať. Dúha je tvorená práve hranicou, kedy sú dopadajúci a odrazený lúč pod maximálnym možným uhlom. Žiadne svetlo sa tak neodrazí viac a sponad primárnej dúhy neuvidíme žiadne svetlo. To isté, ale naopak, platí aj pre sekundárnu dúhu (keďže je naopak).

Vnútri prvej dúhy tak vidíme svetlo, ktoré sa v kvapkách odrazilo raz. Nestalo sa tak pod extrémnym uhlom ako v prípade dúhy, preto svetlo nie je také silné ako priamo z nej. Sponad sekundárnej dúhy zas vidíme dvojodrazové (a teda slabšie) svetlo, no spod nej nie. Alexandrov pás je v smutnej oblasti, ktoré je moc vysoko na jednoodrazové svetlo (z prvej dúhy), no moc nízko na dvojodrazové (z druhej dúhy) – a preto je taký tmavý.

Prečo vidíme statické dúhu, aj keď ju tvoria padajúce kvapky? To už nechám na vás. Hľadanie odpovede je zaujímavejšie, ako sa rovno dozvedieť odpoveď. Snáď ste pri čítaní (a premýšľaní) zažili ten svoj ahááá moment a keď najbližšie uvidíte dúhu, bude výsledné jéééj ešte intenzívnejšie.

Poznámky a spresnenia:

1. Existujú aj trojité a štvorité dúhy, ale ide o špeciálny jav. Narozdiel od bežných dúh sa nachádzajú medzi zdrojom svetla a pozorovateľom.

2. Lom svetla sa riadi Snellovým zákonom n₁ sin α₁ = n₂ sin α₂, kde α  označuje uhol dopadajúceho resp. prejdeného svetla a n indexy lomu svetla v daných prostrediach. Index lomu vzduchu je zhruba 1, index lomu vo vode (pre viditeľné svetlo) je zhruba 1.339, 1.337, 1.333, 1.332, 1.331, 1.330, čísla som čerpal tu.

3. O tvare kvapiek rozhodujú dva efekty –odpor vzduchu a snaha minimalizovať svoju plochu. Pri malých kvapkách dominuje tá druhá a tak sú kvapky guľaté, majú tak najmenšiu možnú plochu pri danom objeme. Ak sú kvapky veľmi veľké, rozpadnú sa na menšie.

4. V skutočnosti nie sú kvapky dokonale guľaté, ale takmer guľaté a tak dúhy tak tiež nie sú dokonale okrúhle, ale iba takmer. Viac v práci Michala Deáka pod vedením Martina Mojžiša

5. Jedným zo zanedbaní bolo, že pod rôznymi uhlami dopadá na kvapku rôzne množstvo lúčov. Dá sa ale presvedčiť, že získané výsledky to nezmení.

6. Výpočet grafov je v jednoduchšej forme načrtnutý tu a v trochu zložitejšej tu. Treba si dať pri porovnávaní pozor, ja som si veci počítal sám a tak používame rôzne označenia.

7. Sem tam sa stane také sranda, že vznikne aj dúha zo svetla, ktoré sa odrazilo od vody. Vtedy môžete vidieť až dva krát dve dúhy (jeden pár priamo zo Slnka, druhý z odrazeného svetla)